Намиране граница на функция чрез правило на Лопитал

[Гост]

Някой може ли да ми каже как стават този тип задачи,конкретно първия пример от зад 19.3,защото не съм убеден че ще се получи с непосредствено диференциране.

zad19.3.png (173.32 KiB) Прегледано 1516 пъти

[Добромир Глухаров]

За функцията [tex]y=(1+x)^{\frac{1}{x}}[/tex] ще ни трябва да намерим приозводната, а това става чрез предварително логаритмуване така: [tex]ln(y)=\frac{1}{x}ln(1+x)[/tex], сега диференцираме двете страни: [tex]\frac{y'}{y}=-\frac{1}{x^2}ln(1+x)+\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+x}=\frac{-(1+x)ln(1+x)+x}{x^2(1+x)}\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow y'=(1+x)^{\frac{1}{x}}\cdot\frac{x-(1+x)ln(1+x)}{x^2(1+x)}[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(y-e)'_x}{(x)'_x}=\lim_{x\to 0}\frac{y'_x}{1}=[/tex]
[tex]=\lim_{x\to 0}y'=\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}(x-(1+x)ln(1+x))}{x^2(1+x)}=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{(x-(1+x)ln(1+x))'_x}{(x^2(1+x))'_x}=\\=e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{(x)'-(1+x)'_xln(1+x)-(1+x)(ln(1+x))'_x}{2x(1+x)+x^2.1}=[/tex]
[tex]=e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1-1.ln(1+x)-\frac{1+x}{1+x}}{3x^2+2x}=-e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{(ln(1+x))'_x}{(3x^2+2x)'_x}=-e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{6x+2}=-e\cdot\frac{\frac{1}{1+0}}{6.0+2}=-e\cdot\frac{1}{2}=-\frac{e}{2}[/tex]

Навсякъде, където преминаваме към производни в числител и знаменател, според правилото на Лопитал сме се убедили, че числителят и знаменателят едновременно клонят към нула.