Ред на Малкорен

[Гост]

Следната задачка ме мъчи и ще съм много благодарна ако някой разясни как се решават подобен тип задачи:

Да се разложи в ред на Маклорен функцията f и за полученият ред да се намери радиусът на сходимост

f(x) = arctg[tex]\frac{1+x}{1-x}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ред на Маклорен (Maclaurin) е ред на Тейлор [tex]\sum_{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k[/tex] - но в околност на нулата
- т.е. [tex]f(x) =\sum_{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k[/tex] .
Трябва да определим производните на функцията [tex]f(x) = arctg\frac{1+x}{1-x}[/tex],
да ги сметнем при [tex]x=0[/tex] и да заместим във втората формула.

Понеже [tex]f'(x) = \frac{1}{1+x^2}[/tex], а това силно прилича на сумата на геометричния ред [tex]\frac{1}{1+x}=\sum_{k=0}^{\infty }(-x)^k[/tex]
(с интервал на сходимост [tex](-1;1][/tex]),
то по аналогия може да се възползваме от това да разгледаме геометричния ред
[tex]\varphi (x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{k=0}^{\infty }(-x^2)^k[/tex]
(с интервал на сходимост [tex][-1;1][/tex])
- за по-бързо намиране производните от по-висок ред.

И тъй като [tex]\varphi '(x)=f''(x)[/tex], лесно се вижда, че след [tex]f(0)=1[/tex] всяка четна производна има стойност [tex]f^{(2k)}(0)=0.[/tex]
Модулите на стойностите на нечетните производни [tex]f^{(2k+1)}(0)[/tex] в нулата са [tex](2k)![/tex] като знаците им се редуват. След съкращаване с факториалите в знаменателите, получаваме окончателно
[tex]arctg\frac{1+x}{1-x}=1+\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^k}{2k-1}x^{2k-1}[/tex] с интервал на сходимост [tex][-1;1][/tex].

Ако искахме да се възползваме от пълната мощ на аналогията, можехме не да търсим отделните коефициенти, а директно да интегрираме [tex]f(x)=\int \varphi (x)dx[/tex], като разбира се получаваме същото.

[Гост]

Ако директно интегрирам, след това трябва ли да намеря и производната на полученото?

[Knowledge Greedy]

Какво използвахме?
Редът [tex]1+x+x^2+x^3+ ...+x^n+...[/tex] се изучава още в СУ (средното училище). При [tex]-1<x<1[/tex] той се нарича сума на безкрайна геометрична прогресия. Тази сума [tex]\frac{1}{ 1-x}[/tex].

Смисълът на задачата бе намирането на степенен ред, с който функцията се изразява и приближава в близост до дадена точка. За маклореновите това е нулата. Тази задача е обратна на задачата, за която потърсихте помощ.
Ето как изглежда:
Дадена е функцията [tex]f(x) =\frac{1}{ 1-x}[/tex]
Да се разложи в ред на Маклорен функцията f и за полученият ред да се намери радиусът на сходимост.
Отговорът е
[tex]1+x+x^2+x^3+ ...+x^n+...[/tex] или кратко записано [tex]\sum_{k=0}^{\infty }x^k[/tex]
Хубавото на тази задача е, че всички коефициенти са равни на единица.
Ако започваме да я решаваме за пръв път и не сме виждали такава задача ( виж втория ред на първия ми пост) решаваме я според червените препоръки.

Ред на Маклорен (Maclaurin) е ...
[tex]f(x) =\sum_{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k[/tex] .
1. Трябва да определим производните на функцията [tex]f(x) = arctg\frac{1+x}{1-x}[/tex],
2. да ги сметнем при [tex]x=0[/tex]
3. да заместим във втората формула.

А сега държите ли непременно да отговоря и на втория Ви въпрос ?

Ако директно интегрирам, след това трябва ли да намеря и производната на полученото?