Локални екстремуми на 2 и повече променливи

[Гост]

Здравейте,

От раздела за локални екстремуми има 1 част от някои задачи, която не мога да разбера. Става дума за това, когато детерминантата на намерените критични точки е 0. Да вземем например следната проста задача:

f(x, y) = x^{4} + y^{4} - x^{2} - 2xy - y^{2}

Как я решавам: Намирам си критичните точки - М1(0,0), М2(1,1) и М3(-1,-1), замествам последователно в матрицата с вторите частни производни, проверявам по правилото ако [tex]\Delta1[/tex] и [tex]\Delta2[/tex] са > 0, то точката е лок. минимум, а ако [tex]\Delta1[/tex] < 0 и [tex]\Delta2[/tex] > 0, то точката е лок. максимум.
Този метод работи обаче само за т.М2 и т.М3. При т.М1(0, 0) детерминтата излиза 0 и са нужни някакви допълнителни изследвания.

Много ще съм благодарен ако някой обясни какво трябва да се направи в такъв случай .

[Knowledge Greedy]

[tex]f(x, y) = x^{4} + y^{4} - x^{2} - 2xy - y^{2}[/tex]

Щом [tex](0;0)[/tex] е от дефиниционното множество, пресмятаме [tex]f(0,0) = 0[/tex]

В този случай показваме, че или функцията запазва знака си в близост до [tex]M_1(0;0)[/tex] и тогава все пак има локален екстремум в [tex](0;0)[/tex], или ...

Да разгледаме редица от точки [tex](x,y)[/tex] със свойствата [tex]y=x[/tex] и [tex]x\rightarrow 0[/tex].
Явно [tex]\lim_{x\to0}f(x,x)=0[/tex] и при това [tex]f(x, x) = 2x^{4} - 4x^{2} =2x^2(x^2-2)<0[/tex] - функцията запазва знака си отрицателен в близост до [tex]M_1(0;0)[/tex].

Ако обаче заменим редицата от точки със следната [tex](x,y)[/tex] - със свойствата [tex]y=-x[/tex] и [tex]x\rightarrow 0[/tex], то тогава заедно с [tex]\lim_{x\to0}f(x,-x)=0[/tex] имаме [tex]f(x, -x) = 2x^{4} >0[/tex]. Последното показва, че аргументите на [tex]f(x, y)[/tex] стремейки се към [tex]M_1(0;0)[/tex] по този начин, осигуряват запазване на знака на [tex]f(x, y)[/tex] положителен. Това е в противоречие с дефиницията на локален екстремум (във всяка околност на [tex]M_1(0;0)[/tex] има и такива за които [tex](x,y)>0[/tex] и такива за които [tex](x,y)<0[/tex]), следователно в [tex]M_1(0;0)[/tex] няма локален екстремум.

Бях наскоро в Дубай и яздих камила. За да си представи човек ситуацията от задачата, трябва примерно да си представи най-ниската точка [tex]M_1[/tex] от седлото, която се намира между двете гърбици на камилата. Но поглеждайки в друга равнина - перпендикулярна на посоката на движение на камилата, същата тази точка [tex]M_1[/tex] е на най-високо място по отношение на линията от гърба на камилата свързваща стремената ( там където са стъпалата ти). Е, няма как тази точка [tex]M_1[/tex] - дупето, височината на която над земята представлява нашата функция, да е най-ниска или най- висока - т.е. екстремална.