Eкстремуми

[Гост]

Може ли някой да ми помогне със следната задачка:
Да се изследва за екстремуми функцията f(x, y, z) = 2ln(x) + 3ln(y) + 5ln(z) + ln(22-x-y-z)?

[Гост]

Могат, ама не щат, искат пари.

[Гост]

е, все ще има някой добър човечец, който да помогне

[Добромир Глухаров]

Най-напред приравняваме първите частни производни на [tex]0[/tex]:

[tex]\begin{array}{|l}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2}{x}-\frac{1}{22-x-y-z}=0\\\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{3}{y}-\frac{1}{22-x-y-z}=0\\\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{5}{z}-\frac{1}{22-x-y-z}=0\end{array}[/tex]

След преобразуване получаваме системата:

[tex]\begin{array}{|l}3x+2y+2z=44\\3x+4y+3z=66\\5x+5y+6z=110\end{array}[/tex]

[tex]\Delta=11\\
\Delta_x=44\\
\Delta_y=66\\
\Delta_z=110[/tex]

[tex]x=4;\ y=6;\ z=10[/tex]

Критичната точка е [tex]A(4;6;10)[/tex] - единствена.

Намираме вторите частни производни:

[tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-\frac{3}{y^2}-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}=-\frac{5}{z^2}-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}=-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}[/tex]

Образуваме Хесиана на функцията:

[tex]H(x;y;z)=\left(\begin{array}{lll}-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}&-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}&-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}\\-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}&-\frac{3}{y^2}-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}&-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}\\-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}&-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}&-\frac{5}{z^2}-\frac{1}{(22-x-y-z)^2}\end{array}\right)[/tex]

Изчисляваме го за критичната точка:

[tex]H(4;6;10)=\left(\begin{array}{lll}-\frac{2}{16}-\frac{1}{(22-20)^2}&-\frac{1}{(22-20)^2}&-\frac{1}{(22-20)^2}\\-\frac{1}{(22-20)^2}&-\frac{3}{6^2}-\frac{1}{(22-20)^2}&-\frac{1}{(22-20)^2}\\-\frac{1}{(22-20)^2}&-\frac{1}{(22-20)^2}&-\frac{5}{10^2}-\frac{1}{(22-20)^2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{3}{10}\end{array}\right)[/tex]

[tex]\Delta_1(4;6;10)=\begin{array}{|l|}-\frac{3}{8}\end{array}=-\frac{3}{8}<0[/tex]

[tex]\Delta_2(4;6;10)=\begin{array}{|ll|}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{3}\end{array}=\frac{1}{8}-\frac{1}{16}>0[/tex]

[tex]\Delta_3(4;6;10)=\begin{array}{|lll|}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{3}{10}\end{array}=...=-\frac{9}{640}+\frac{1}{320}+\frac{1}{192}=-\frac{11}{1920}<0[/tex]

Знаците на [tex]\Delta[/tex] алтернативно се менят, започвайки от отрицателен, следователно в т. [tex]A(4;6;10)[/tex] [tex]f(x;y;z)[/tex] има максимум:

[tex]f_{max}(x;y;z)=f(4;6;10)=ln(4^2.6^3.10^5.2)=ln(2^{13}.3^3.5^5)=13ln2+3ln3+5ln5[/tex]

[Гост]

Благодаря, най-накрая ги разбрах