математически анализ

[ivanka]

да се намерят координатите на точка от кривата L с векторно параметрично уравнение x=t^3, y=t^2 при t=1. Да се пресметне кривината на кривата в тази точка.

[Flame]

да се намерят координатите на точка от кривата L с векторно параметрично уравнение x=t^3, y=t^2 при t=1. Да се пресметне кривината на кривата в тази точка.

Кривина k намираме, както следва. При:
[tex]x=t^3[/tex]
[tex]y=t^2[/tex]
за [tex]t=1[/tex] получаваме точка [tex]M(1,1)[/tex] кривината в тази точка е:
[tex]k=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex],[tex](1)[/tex]
Намираме последователно:
[tex]\dot{x}=3.t^2[/tex],[tex]\ddot{x}=6.t[/tex],[tex]\dot{y}=2.t[/tex],[tex]\ddot{y}=2[/tex] Заместваме в [tex](1)[/tex]

[tex]k=\frac{3t^2.2-6.t.2.t}{((3.t^2)^2+(2.t)^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex] За[tex]t=1[/tex] получаваме
[tex]k=\frac{3.2-6.2}{((3)^2+(2^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]
[tex]k=\frac{-6}{(13^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]
[tex]k=-\frac{6}{13.\sqrt{13}}[/tex] не е необичайно да се получавa отрицателна кривина. Това означава изпъкналост в тази точка на кривата.
Радиусът на кривина се дефинира.
[tex]R=\frac{1}{|k|}=\frac{13.\sqrt{13}}{6 }[/tex] в точката [tex]M(1,1)[/tex]

ПП. Има и Гаусова кривина, но това е друго.