Лесен интеграл

[Гост]

Здравейте,
Позабравил съм доста анализа и ми е нужна малко помощ.
Може ли някой да обясни как се решата интеграли от този тип: [tex]\int_{0}^{1}xlnxdx[/tex] ?

[Knowledge Greedy]

Първо да сметнем определения интеграл
[tex]I=\int xlnxdx=x^2lnx-\int xd(xlnx)=x^2lnx-\int xlnxdx-\int xdx[/tex]
[tex]I=\int xlnxdx=x^2lnx-I-\frac{1}{2 }x^2+C[/tex]
[tex]2I=x^2lnx-\frac{1}{2 }x^2+C[/tex]
[tex]\Rightarrow \int xlnxdx=\frac{1}{2} x^2lnx-\frac{1}{4 }x^2+C[/tex]
Понеже подинтегралната функция не е дефинирана при [tex]x=0[/tex], ще пресметнем определения интеграл
[tex]\int_{0}^{1}xlnxdx[/tex]
като граница на интеграла [tex]\int_{\varepsilon }^{1}xlnxdx[/tex] при [tex]\varepsilon\rightarrow 0[/tex] за [tex]\varepsilon>0[/tex]
Eто:
[tex]\int_{\varepsilon }^{1}xlnxdx=\frac{1}{2} x^2lnx-\frac{1}{4 }x^2\left|\begin{matrix}
1&\\
&\\
&\\
\epsilon
\end{matrix}\right[/tex][tex]=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2} 1^2ln1-\frac{1}{4 }1^2-\frac{1}{2} \epsilon^2ln\epsilon+\frac{1}{4 }\epsilon^2=[/tex]

[tex]=-\frac{1}{4 }- \epsilon^2ln\epsilon+\frac{1}{4 }\epsilon^2[/tex]
И тъй като границите
[tex]\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\varepsilon ^{2}=0[/tex] и [tex]\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\varepsilon ^{2}ln\varepsilon=0[/tex] (последната смятаме с Лопитал - от представянето [tex]\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{ln\varepsilon}{\frac{1}{\varepsilon ^{2}}}=0[/tex]),

то [tex]\int_{0}^{1}xlnxdx=-\frac{1}{4}[/tex]

[Гост]

Чувствам се тъп...благодаря

[MENKA]

∫хlnxdx=1/2∫lnxdx²=1/2(x²lnx-∫x²dlnx)=
1/2(x²lnx-∫xdx)=1/2(x²lnx-x²/2)=
(x²lnx)-x²/4+C

Логиката е:когато в подинтегралната функция в произведението участват lnu,arcsinu,arccosu,arctgu,arccotgu-първо другата част от произведението я внасяш под знака на диференциала,а после прилагаш метода интегриране по части.

[Гост]

Добре, още един въпрос:

Как да сметна опредения интеграл на [tex]\int_{0}^{\pi/2}ln(sinx)dx[/tex]

[MENKA]

Интегриране по части.

[Гост]

Да, така бях тръгнал но получавам интеграл от сорта на [tex]\int_{}^{ } \frac{x}{sinx}[/tex] и не знам какво да правя нататък

[Гост]

Да, така бях тръгнал но получавам интеграл от сорта на [tex]\int_{}^{ } \frac{x}{sinx}[/tex] и не знам какво да правя нататък

грешка ...[tex]\int_{}^{ } \frac{xcosx}{sinx}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Добре, още един въпрос:

Как да сметна опредения интеграл на [tex]\int_{0}^{\pi/2}ln(sinx)dx[/tex]

Виж ТУК и ТУК.

Неопределеният интеграл не може да се представи в затворена форма чрез елементарни функции, но може да се използва специалната функция "интегрален логаритъм в областта на комплексните числа" ([tex]Li_2(x+i.y)[/tex], виж ТУК), така че да се изчисли определения интеграл.

[grav]

Как да сметна опредения интеграл на [tex]I = \int_{0}^{\pi/2}ln(sinx)dx[/tex]

Забелязваш следните неща

[tex]\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin x)dx=\int_{\frac\pi2}^{\pi}\ln(\sin x)dx[/tex], [tex]\quad\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin x)dx=\int_0^{\frac\pi2}\ln(\cos x)dx[/tex]

Тогава

[tex]2I=\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin x)dx+\int_0^{\frac\pi2}\ln(\cos x)dx=\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin x\cos x)dx=\int_0^{\frac\pi2}\ln(\frac12\sin 2x)dx[/tex]

[tex]=\int_0^{\frac\pi2}\ln(\frac12)dx+\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin 2x)dx=\frac\pi2\ln(\frac12)+\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin 2x)dx=\frac\pi2\ln(\frac12)+\frac12\int_0^{\pi}\ln(\sin t)dt[/tex]

От където

[tex]I=-\frac\pi2\ln(2)[/tex]


п.п. Преди някой да тръгне да се оплаква, има пропуснати елементарни стъпки, които ме домързя да напиша.