неопределени интеграли

[abc]

∫x sin√x dx

[Knowledge Greedy]

Отг.
[tex]-2x\sqrt{x}cos{\sqrt{x}}+6xsin{\sqrt{x}}+12\sqrt{x}cos{\sqrt{x}} -12sin{\sqrt{x}}+C[/tex]

или [tex](-2x\sqrt{x}+12\sqrt{x})cos{\sqrt{x}}+(6x-12)sin{\sqrt{x}}+C[/tex]

Как се постига? С полагане и три пъти* интегриране по части.
Полагаме [tex]\sqrt{x} =t[/tex], тогава [tex]x=t^2[/tex] и [tex]dx=2tdt[/tex].
Интегралът [tex]I=\int_{}^{ }{xsin{\sqrt{x}}} dx[/tex]
добива вида [tex]I=2\int_{}^{ } t^3sin{t} dt[/tex].

[tex]\frac{1}{2} I=\int_{}^{ } t^3sin{t} dt=-t^3cos{t}+\int_{}^{ } {cos{t}}d{ t^3}=[/tex]*
[tex]=-t^3cos{t}+3\int_{}^{ } {t^2cos{t}}d{ t}=[/tex]
[tex]=-t^3cos{t}+3\int_{}^{ } {t^2}dsin{ t}=[/tex]*
[tex]=-t^3cos{t}+3{t^2}sin{ t}-3\int_{}^{ }sint d{t^2}=[/tex]
[tex]=-t^3cos{t}+3{t^2}sin{ t}-6\int_{}^{ }tsint d{t}[/tex]
[tex]=-t^3cos{t}+3{t^2}sin{ t}+6\int_{}^{ }t d{cost}=[/tex]*
[tex]=-t^3cos{t}+3{t^2}sin{ t}+6tcost-6\int_{}^{ }cos{t}dt=[/tex]

[tex]=-t^3cos{t}+3{t^2}sin{ t}+6tcost-6sint[/tex]

или още [tex]\frac{1}{2} I=(-t^3+6t)cos{ t}+(3{t^2}-6)sint[/tex]

Остава да върнем полагането, да умножим по 2 и да не забравяме константата.