Обем на тяло

[abc]

Да се пресметне обема на тялото, получено от въртенето около оста Ох на фигурата, ограничена от графиката на функцията x^2 - xy + y^2= a^2

[Knowledge Greedy]

Да се пресметне обема на тялото, получено от въртенето около оста [tex]Ox^{\rightarrow}[/tex] на фигурата, ограничена от графиката на функцията [tex]x^2 - xy + y^2= a^2.[/tex]

Теорията казва:
Нека [tex]y=f(x)[/tex] е непрекъсната в интервала [tex]a\le x\le b[/tex] функция, приемаща неотрицателни стойности, [tex]\,\[/tex] (т.е.[tex]\forall x\in [a;b]\Rightarrow f(x)\ge 0[/tex]).
Нека означим с [tex]F[/tex] равнинната фигура заградена от правите [tex]y=a[/tex], [tex]\,\[/tex][tex]Ox^{\rightarrow}[/tex], [tex]y=b[/tex] и кривата [tex]y=f(x)[/tex]
Тогава обемът на ротационното тяло, получено от въртенето на фигурата [tex]F[/tex] около абсцисната ос [tex]Ox^{\rightarrow}[/tex], се намира с интеграла [tex]V_x=\pi \int_{a}^{b}f^2(x)dx[/tex].

Да представим така [tex]\left (x-\frac{1}{2 }y \right )^2 +\frac{3}{4 } y^2= a^2[/tex] кривата, ограничаваща нашата фигура.
След деление на [tex]a^2[/tex]

[tex]\frac{\left (x-\frac{1}{2 }y\right)^2}{a^2 } +\frac{y^2}{\left ( \frac{2a}{ \sqrt{3} } \right )^2} = 1[/tex]

и полагане [tex]X=x-\frac{1}{2 }y[/tex];
[tex]Y=y[/tex]; [tex]b=\frac{2a}{ \sqrt{3} }[/tex]

виждаме, че [tex]\frac{X^2}{a^2 } +\frac{Y^2}{b^2 }=1[/tex], значи кривата е елипса. Тук се получава усложнение (очаквано! ) от факта, че осите на тази елипса са под наклон спрямо координатните оси и се налага да търсим обема със следната по-обща
Теорема. Нека [tex]y=f(x)[/tex] и [tex]y=g(x)[/tex] са непрекъснати в интервала [tex]a\le x\le b[/tex] функции, приемащи неотрицателни стойности, [tex]\,\[/tex] като [tex]\forall x\in [a;b]\Rightarrow 0\le f(x)\le g(x)[/tex]).
Нека означим с [tex]K[/tex] равнинната фигура заградена от правите [tex]y=a[/tex] и [tex]y=b[/tex], и кривите [tex]y=f(x)[/tex] и [tex]y=g(x)[/tex] .
Тогава обемът на ротационното тяло, получено от въртенето на фигурата [tex]K[/tex] около абсцисната ос [tex]Ox^{\rightarrow}[/tex], се намира с интеграла [tex]V_x=\pi \int_{a}^{b}\left ( g^2(x)-f^2(x)\right )dx[/tex].

(Ако не сте я решили до довечера, ще се включа отново.)