Сума ksinkx = (n+1)sinx - nsin(n+1)x \4sin^2(x\2)

[Delziec]

Здравейте,
Трябва да докажа следната формула, но не знам защо дробта не ми се показва, надявам се да се разбира задачата.
Благодаря предварително !

[tex]\sum_{k=1}^{n } ksinkx = {(n+1)sinx - nsin(n+1)x 4sin^2(x2)}[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]S(x)=\sum_{k=1}^{n }ksinkx = \frac{{(n+1)sinx - nsin(n+1)x}}{ 4sin^2(\frac{x}{2 } ) }[/tex]

Решение.
Да предположим, че знаем сумата [tex]F(x)=\sum_{k=1}^{n}coskx[/tex]

Сумата, която трябва да намерим е [tex]S(x)=-F'(x).[/tex]

А сега да открием, защо [tex]F(x)=\frac{ sin{\frac{nx}{2}}.cos(\frac{(n+1)x}{2})}{sin\left( \frac{x}{2} \right)}[/tex]

Един възможен начин е с тригонометрични формули. Умножаваме по [tex]sin{\left ( \frac{x}{2} \right )}[/tex].

[tex]sin{\left ( \frac{x}{2} \right )}F(x)=\sum_{k=1}^{n}sin{\left ( \frac{x}{2} \right )}coskx[/tex]

[tex]sin{\left ( \frac{x}{2} \right )}F(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2} \left ( sin(k+\frac{1}{2})x- sin(k-\frac{1}{2})x \right )[/tex]

[tex]sin{\left ( \frac{x}{2} \right )}F(x)=\frac{sin(n+\frac{1}{2})x- sin(\frac{1}{2}x)}{2 }[/tex]

А сега заедно с представянето на числителя отдясно във вид на произведение,
делим двете страни на [tex]sin{\left ( \frac{x}{2} \right )}[/tex].

Получава се [tex]F(x)=\frac{ \cancel {2}sin{\frac{nx}{2}}.cos(\frac{(n+1)x}{2})}{\cancel {2}sin\left ( \frac{x}{2} \right ) }[/tex]

Остава да намерим производната [tex]F'(x)[/tex]

[tex]F'(x)=\frac{ \left ( sin{\frac{nx}{2}}.cos(\frac{(n+1)x}{2})\right )'sin(\left (\frac{x}{2}\right ))-sin{\frac{nx}{2}}.cos(\frac{(n+1)x}{2}).\left ( sin(\left ( \frac{x}{2}\right ))\right )' }{sin^2 \frac{x}{2} }[/tex]

[tex]F'(x)=\frac{ \left ( \frac{n}{2}cos\frac{nx}{2}.cos\frac{(n+1)x}{2} -\frac{n+1}{2 } sin\frac{nx}{2}.sin\frac{(n+1)x}{2}\right )}{sin\left (\frac{x}{2}\right )}


-sin{\frac{nx}{2}}.cos{\frac{(n+1)x}{2}}.cos{\left ( \frac{x}{2}\right )} }

{sin^2{ \frac{x}{2} }[/tex]

Само в числителя групираме
[tex]\frac{n}{2}\left ( cos(\frac{nx}{2}).cos(\frac{(n+1)x}{2}) - sin(\frac{nx}{2}).sin(\frac{(n+1)x}{2})\right )sin\left(\frac{x}{2}\right )-sin(\frac{nx}{2}).\left ( sin\frac{(n+1)x}{2}sin\frac{x}{2}+cos(\frac{(n+1)x}{2}).cos\frac{x}{2} \right)=[/tex]

[tex]=\frac{n}{2} cos\frac{(2n+1)x}{2 }(sin\frac{x}{2 }-sin\frac{nx}{2})cos(\frac{nx}{2 })[/tex]

Дотук получихме
[tex]F'(x)=\frac{n sin{\frac{x}{2 }cos{\frac{(2n+1)x}{2 } }}-sin{(nx)}}{2sin^2(\frac{x}{2 } )}[/tex]

Накрая преобразувайки произведението [tex]nsin(\frac{x}{2 })cos(\frac{(2n+1)x}{2})[/tex] от числителя, във вид на сбор
[tex]\frac{n}{2 }\left (sin(n+1)x-sinnx \right )[/tex] , достигаме до формулата

[tex]S(x)=\sum_{k=1}^{n }ksinkx =- \frac{{(n+1)sinnx - nsin(n+1)x}}{ 4sin^2(\frac{x}{2 } ) }[/tex]
_________________________
Има разлика в един множител [tex]n[/tex] в числителя и една [tex](-1)[/tex]-ца от това, което съм разбрал като условие.
-----------------------------------
Грешката е моя, но не мога да я открия. Не изтривам поста в името на помощта, дано не ви объркам. Поне идеята е добра

[Гост]

@Knowledge Greedy: Достатъчни са първите 2-3 реда. Остави човека да смята нататък. Все пак това си е негов проблем, трябва и той да направи нещо.