Изследване на многочлени на функция

[yani.m]

Здравейте,
За да се изследва дадена функция, следваме няколко стъпки, втората, от които е: Определяне на общи характеристики на функцията - т.е. дали тя е четна, нечетна, нито четна нито нечетна и дали е периодична или непериодична.
Може ли някой да ми изясни как точно се определят тези характеристики?

[yani.m]

и евентуално ако някой види темата, да ми обясни как се прави самата таблица накрая..

[Добромир Глухаров]

За четност намираме :
[tex]f(-x)=?[/tex]
Ако [tex]f(-x)=f(x)[/tex] - четна.
Ако [tex]f(-x)=-f(x)[/tex] - нечетна.
Ако [tex]f(-x)\neq f(x);\ f(-x)\neq-f(x)[/tex] - нито четна, нито нечетна.

За периодичност решаваме спрямо [tex]T[/tex] уравнението:
[tex]f(x+T)=f(x)[/tex]
Ако получим решение [tex]T[/tex] независещо от [tex]x[/tex] и различно от [tex]0[/tex] - периодична с период [tex]T[/tex].

Ако не получим решение [tex]T[/tex] независещо от [tex]x[/tex] - непериодична.

Пример:

[tex]f(x)=5x^3-7x[/tex]

[tex]f(-x)=5(-x)^3-7(-x)=-5x^3+7x=-(5x^3-7x)=-f(x)[/tex] - [tex]f[/tex] е нечетна.

[tex]f(x+T)=f(x)\Rightarrow 5(x+T)^3-7(x+T)=5x^3-7x\Rightarrow 5x^3+15x^2T+15xT^2+T^3-7x-7T=5x^3-7x\\\Rightarrow 15x^2T+15xT^2+T^3-7T=0\Rightarrow T(T^2+15xT+15x^2-7)=0[/tex]

[tex]T_1=0;\ D=(15x)^2-4.1.(15x^2-7)=165x^2+28;\ T_{2,3}=\frac{-15x\pm\sqrt{165x^2+28}}{2}[/tex]

[tex]T_1[/tex] е нула, а [tex]T_2[/tex] и [tex]T_3[/tex] зависят от [tex]x[/tex], следователно [tex]f(x)[/tex] е непериодична.

[yani.m]

За четност намираме :
[tex]f(-x)=?[/tex]
Ако [tex]f(-x)=f(x)[/tex] - четна.
Ако [tex]f(-x)=-f(x)[/tex] - нечетна.
Ако [tex]f(-x)\neq f(x);\ f(-x)\neq-f(x)[/tex] - нито четна, нито нечетна.

За периодичност решаваме спрямо [tex]T[/tex] уравнението:
[tex]f(x+T)=f(x)[/tex]
Ако получим решение [tex]T[/tex] независещо от [tex]x[/tex] и различно от [tex]0[/tex] - периодична с период [tex]T[/tex].

Ако не получим решение [tex]T[/tex] независещо от [tex]x[/tex] - непериодична.

Пример:

[tex]f(x)=5x^3-7x[/tex]

[tex]f(-x)=5(-x)^3-7(-x)=-5x^3+7x=-(5x^3-7x)=-f(x)[/tex] - [tex]f[/tex] е нечетна.

[tex]f(x+T)=f(x)\Rightarrow 5(x+T)^3-7(x+T)=5x^3-7x\Rightarrow 5x^3+15x^2T+15xT^2+T^3-7x-7T=5x^3-7x\\\Rightarrow 15x^2T+15xT^2+T^3-7T=0\Rightarrow T(T^2+15xT+15x^2-7)=0[/tex]

[tex]T_1=0;\ D=(15x)^2-4.1.(15x^2-7)=165x^2+28;\ T_{2,3}=\frac{-15x\pm\sqrt{165x^2+28}}{2}[/tex]

[tex]T_1[/tex] е нула, а [tex]T_2[/tex] и [tex]T_3[/tex] зависят от [tex]x[/tex], следователно [tex]f(x)[/tex] е непериодична.

А, само да попитам периодични са тези с cos, sin, tg, cotg?

[Добромир Глухаров]

[tex]sin(x)[/tex] и [tex]cos(x)[/tex] са периодични с период [tex]T=2\pi[/tex]

[tex]tg(x)[/tex] и [tex]cotg(x)[/tex] са периодични с период [tex]T=\pi[/tex]

Но например [tex]f(x)=sin(x^2)[/tex] не е периодична, понеже:

[tex]f(x+T)=f(x)\Leftrightarrow sin(x^2+2xT+T^2)=sin(x)\Leftrightarrow x^2+2xT+T^2=x+2k\pi\Leftrightarrow T^2+2xT+x^2-x-2k\pi=0[/tex]

[tex]D_1=x^2-(x^2-x-2k\pi)=x+2k\pi[/tex]

[tex]T_{1,2}=-x\pm\sqrt{x+2k\pi}[/tex] зависят от [tex]x[/tex].

[yani.m]

До частта със попълването на таблицата, мисля, че разбрах, но сега се затруднявам с попълването на таблицата

[Добромир Глухаров]

Да вземем за пример функцията:
[tex]f(x)=x^3+3x^2-13[/tex]

[tex]f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)\Rightarrow[/tex] [tex]x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)\to f'(x)>0\\x\in(-2;0)\to f'(x)<0[/tex]

[tex]f''(x)=6x+6=6(x+1)\Rightarrow x<-1\to f''(x)<0[/tex] - вдлъбната, изпъкнала нагоре, [tex]x>-1\to f''(x)>0[/tex] - изпъкнала, вдлъбната нагоре.

Таблица:

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\\x&(-\infty;-2)&-2&(-2;-1)&-1&(-1;0)&0&(0;+\infty)\\\hline\\f'(x)&+&0&-&-&-&0&+\\\hline\\f''(x)&-&-&-&0&+&+&+\\\hline\\f(x)&{\cyr{rastyashcha}\\\cyr{vdl{\cdprime}bnata nadolu}}&{max\\\cyr{vdl{\cdprime}bnata nadolu}}&{\cyr{namalyavashcha}\\\cyr{vdl{\cdprime}bnata nadolu}}&{\cyr{namalyavashcha}\\ infl}&{\cyr{namalyavashcha}\\\cyr{vdl{\cdprime}bnata nagore}}&{min\\\cyr{vdl{\cdprime}bnata nagore}}&{\cyr{rastyashcha}\\\cyr{vdl{\cdprime}bnata nagore}}\\\hline\\f(x)&-&-9&-&-11&-&-13\\\hline\end{array}[/tex]

Надявам се да е достатъчно едро.

След малко ще публикувам и графиката.

[Добромир Глухаров]

Функция.png (21.33 KiB) Прегледано 17635 пъти

[yani.m]

Безкрайни благодарности! Може ли да погледнете и една задачка, ако не е твърде нахално вече тя е решена просто имам няколко въпроса към нея