Комплексна променлива

[Nietsche]

да се пресметнат реалните интеграли
[tex]\int_{0}^{\infty }cosx^2dx[/tex] = [tex]\int_{0}^{\infty }sinx^2dx[/tex] = [tex]\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/tex]

[kerry]

А знаеш ли как се решава интеграла

[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2-y^2}dxdy[/tex]

[kerry]

Ето още няколко интересни интеграли:

[tex]\int_0^\infty \frac{cosx}{\sqrt{x}} dx = \int_0^\infty \frac{sinx}{\sqrt{x}} dx = sqrt{\frac{\pi}{2}}[/tex]

[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sinx}{x} dx = \pi[/tex]

[kerry]

[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2-y^2}dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-\rho ^2}\rho d \rho d \theta = \pi[/tex]

От друга страна

[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2-y^2}dxdy = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx . \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right) ^2[/tex]

Приравняваме десните страни и намираме интеграла на Поасон

[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = sqrt{\pi}[/tex]

[tex]\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{sqrt{\pi}}{2}[/tex]

А сега да разгледаме интеграла по затворената крива l, състояща се от три части l1, l2 и l3.
l2 е в безкрайността, а l3 е права под ъгъл [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]

[tex]\oint_l e^{iz^2}dz = 0[/tex] Равен е на нула, защото няма особени точки.

l.JPG (5.54 KiB) Прегледано 488 пъти

Този интеграл може да се представи като сума от три интеграла, съответно по l1, l2 и l3.

[tex]\int_{l_1} e^{iz^2}dz +\int_{l_2} e^{iz^2}dz +\int_{l_3} e^{iz^2}dz =0[/tex]

[tex]\int_0^{\infty}e^{ix^2}dx + 0 - e^{i \frac{\pi}{4}} \int_0^{\infty}e^{-x^2} dx =0[/tex]

[tex]\int_0^{\infty}e^{ix^2}dx = e^{i \frac{\pi}{4} } \frac{\sqrt{\pi}}{2}[/tex]

[tex]\int_0^{\infty}cosx^2 dx +i \int_0^{\infty}sinx^2 dx =\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{\pi}}{2} +i \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{\pi}}{2}[/tex]

Приравняваме съответните реални и имагинерни компоненти и намираме двата търсени интеграла.

[Nietsche]

Благодаря за помоща...малко съм на Вие с тая материя
П.С. и аз мислех ,че централния ъгъл е [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]