Граници изследване и построяване на функция

[Гост]

IMG_20141210_011339.jpg (1.73 MiB) Прегледано 36119 пъти

Ако може някой да реши тези задачи ще съм много благодарен

[Zarrie]

[tex]1.a) \lim_{x \to -2} \frac{2-x^{2}-x}{2x^{3}-8x} = \lim_{x \to -2}- \frac{(x-1) \cancel{(x+2)}}{2x(x-2)\cancel{(x+2)}} = \lim_{x \to -2} -\frac{x-1}{2x(x-2)}= \frac {3}{16}[/tex]
[tex]\lim_{x \to 3} \frac{9-3x}{\sqrt{5x-6}-\sqrt{2x+3}} = \lim_{x \to 3} \frac{\cancel{(9-3x)}(\sqrt{5x-6}-\sqrt{2x+3})}{\cancel{3x-9}} = \lim_{x \to 3} -(\sqrt{5x-6}-\sqrt{2x+3}) = 0[/tex]
*тук използваме спрегнат израз, с който допълваме до формула за разлика от втори степени.
[tex]\lim_{x \to \infty} {(\frac{x+6}{x-4})}^{2x}=\lim_{x \to \infty} g(x)^{2x}=\lim_{x \to \infty} g(x)=1 \Rightarrow \lim_{x \to \infty} g(x)^{2x} = \lim_{x \to \infty} 1^{2x} = 1[/tex]


[tex]2.f'(x)=y'=x^{2} -4x+3 / y''=2x-4[/tex]
[tex]y'=0 \Leftrightarrow x=3 \cup x=1 \Rightarrow x \in (- \infty;1) \cup (3; \infty) f(x)[/tex] е растяща
[tex]x \in (1;3) \Rightarrow f(x)[/tex]е намаляваща.
[tex]y''=0 \Leftrightarrow x=2[/tex] инфлексна точка
[tex]x \in (- \infty ;2) f(x)[/tex] e вдлъбната
[tex]x \in (2; \infty) f(x)[/tex]e изпъкнала
[tex]min_{[-1;2]} y \Rightarrow x \in (-1;1)[/tex] растяща [tex]x \in (1;2)[/tex]намаляваща [tex]\Rightarrow min_{[-1;2]} y = f(-1)[/tex] или [tex]f(2)[/tex] пресмятайки ги установяваме, че[tex]f(-1) < f(2) \Rightarrow min_{[-1;2]} y = f(-1) = \frac {-22}{3}[/tex]
[tex]max_{[-1;3]} y = f(1)[/tex]защото в интервала [-1;3] имаме единствен локален максимум [tex]max_{[-1;3]} y =\frac {-2}{3}[/tex]


[tex]3.D_{x} = x \not = -1[/tex]
[tex]f'(x) = -\frac{(x+9)(3-x)^{2}}{(x+1)^{3}}[/tex] откривайки критичните точки, определяме интервалите на монотонност [tex]x < -9 \cup x>-1[/tex]функцията е намаляваща [tex]x \in (-9;-1)[/tex]функцията е растяща
[tex]f''(x) = \frac{96(x-3)}{(x+1)^{4}} \Rightarrow x<3[/tex] функцията е изпъкнала [tex]x>3[/tex] функцията е вдлъбната
Тъй като функцията е полином, то тя е непрекъсната.
Пресмятаме няколко допълнителни точки, които да ни помогнат за построяването на графиката
Функцията има верикална асимптота x=-1 и наклонена асимптота t=-x+11

[Zarrie]

За две подусловия от първата задача не съм сигурен, затова не съм писал решения

[monika_at]

За две подусловия от първата задача не съм сигурен, затова не съм писал решения

Защо да не си сигурен? Напиши решениетята си, ако имаш такива.
Дори и да сбъркаш, няма проблем

[monika_at]

За две подусловия от първата задача не съм сигурен, затова не съм писал решения

Защо да не си сигурен? Напиши решениетята си, ако имаш такива.
Дори и да сбъркаш, няма проблем

[Гост]

Ако може да ми прикачиш решението на ∫" защото аз се опитах да го получа и стигнах до (3-x)(3x^2+15x-96)/(X+1)^4 явно някъде съм объркал сметките

[Zarrie]

[tex]f''(x)= -\frac{((x+9)(3-x^2)'(x+1)^3-((x+9)(3-x)^{2})((x+1)^{3})'}{((x+1)^3)^{2}}[/tex]
[tex]f''(x) =-\frac{((3-x)^2+(x+9)2(3-x)(-1))(x+1)^3-((x+9)(3-x)^2)(3(x+1)^2(x+1)^3)'}{(x+1)^6}[/tex]
[tex]f''(x)=-\frac{(x+1)^3(3-x)^2+(x+1)^3(x+9)2(3-x)(-1)-(x+9)(3-x)^23(x+1)^2}{(x+1)^6}[/tex]
[tex]f''(x)=-\frac{(x+1)^3(3-x)^2+(x+1)^3(x+9)2(3-x)(-1)-(x+9)(3-x)^23(x+1)^2}{(x+1)^6}[/tex]
Изнасяме общ множител
[tex]f''(x)=-\frac{\cancel{(x+1)^2}(3-x)(-96)}{(x+1)^\cancel6}[/tex]
[tex]f''(x)=-\frac{96(x-3)}{(x+1)^4}[/tex]
Явно съм сбъркал първия път в сметките защото сега получих минус
Просто е голямо писане

[Zarrie]

На третия пример от първия ред се получава [tex]-\infty[/tex] тъй като в числителя имаме по-висока степен и това е отговора.

[Гост]

Много ти благодаря

[Zarrie]

Много моля

[Knowledge Greedy]

Зари, не съм съгласен с това. Знай, че [tex]1^\infty[/tex] не е [tex]1[/tex]-ца, а е неопределеност и един от начините за разкриването на тази неопределеност е посочен под цитата.

...[tex]\lim_{x \to \infty} {(\frac{x+6}{x-4})}^{2x}=\lim_{x \to \infty} g(x)^{2x}=\lim_{x \to \infty} g(x)=1 \Rightarrow \lim_{x \to \infty} g(x)^{2x} = \lim_{x \to \infty} 1^{2x} = 1[/tex]...

Да продължим от последното място, което е вярно

[tex]\lim_{x \to \infty} {(\frac{x+6}{x-4})}^{2x}=[/tex]
Отделяме цяла част единица
[tex]=\lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x-4+10}{x-4} \right )^{2x}=[/tex]

[tex]=\lim_{x \to \infty} \left (1+\frac{1}{\frac{x-4}{10}} \right )^{2x}=[/tex]

[tex]=\lim_{x \to \infty} \left [ \left (1+\frac{1}{\frac{x-4}{10}} \right )^{\frac{x-4}{10 }} \right ]^{\frac{20x}{x-4 } }=e^{20}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Относно втората производна.

Добре е функцията да се представи така
[tex]f(x)=-x+11-\frac{48}{x+1 }+\frac{64}{(x+1)^2 }[/tex]

Получава се с двукратно приложение на схемата на Хорнер.
Това представяне автоматично ни дава наклонената асимптота [tex]y=-x+11[/tex],
освен това скъсява намирането на производната

[tex]f'(x)=-1+\frac{48}{(x+1)^2 }-\frac{128}{(x+1)^3 }[/tex]

А и втората производна става почти мигновено
[tex]f''(x)=-\frac{96}{(x+1)^3 }+\frac{384}{(x+1)^4 }[/tex]

И сега с привеждане под общ знаменател, получаваме
[tex]f''(x)=-\frac{96(x-3)}{(x+1)^4}[/tex]

...
Просто е голямо писане

Не е толкова много писане

[Zarrie]

Много Ви благодаря за поправката Всъщност, явно не съм запознат с този тип примери за граници