Да се намери лицето на повърхнината на тяло

[valka7a]

Някой може ли да помогне?
Да се намери лицето на повърхнината на тяло получено от фигурата заградена от окръжността x^2+y^2=4 между правите x=-1 и x=1 при ротация около остта 0x

[Гост]

някой ?

[Гост]

[tex]V=2\pi\int_{0}^1(4-x^2)dx=
\left.2\pi(4x-\frac{x^3}{3})\right|_0^1=2\pi(4-\frac{1}{3})=\frac{22\pi}{3}[/tex]

[Гост]

Това е обемът му. Пита се за лицето на повърхнината.

[matst]

Нека [tex]y=\sqrt{4-x^2}[/tex], при [tex]x\in[-1;1][/tex]. Така

• [tex]y>0[/tex]
• [tex]y^2=4-x^2[/tex]

Следователно, [tex]2y y' = -2x[/tex] и

• [tex]y'=\frac{-x}{y}[/tex]
• [tex]1+y'^2=1+ \frac{x^2}{y^2}=\frac{y^2+x^2}{y^2}=\frac{4}{y^2}[/tex]

и значи [tex]\sqrt{1+y'^2}=\frac{2}{y}[/tex].

Търсеното лице е [tex]S=2\pi \int_{-1}^1 y \sqrt{1+y'^2} dx=2 \pi \int_{-1}^1 y \frac{2}{y} dx = 2 \pi \int_{-1}^1 2 dx = 8 \pi[/tex].