Ред на Тейлър

[helena23451]

Здравейте!!!
Надявам се някой да може да ми помогне със следната задача:
Да се развие F(x)=(1+x)^1/2 в ред на Тейлър

Благодаря ви предварително!!!

[martin123456]

[tex]f(x)=\sqrt{1+x}[/tex] ли

[helena23451]

[tex]f(x)=\sqrt{1+x}[/tex] ли

Da

[martin123456]

[tex]f'(x)=((1+x)^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f''(x)=(\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}})'=-\frac{1}{2^2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}[/tex]
[tex]f'''(x)=(-\frac{1}{2^2}(1+x)^{-\frac{3}{2}})'=\frac{3}{2^3}(1+x)^{-\frac{5}{2}}[/tex]
[tex]f''''(x)=(\frac{3}{2^3}(1+x)^{-\frac{5}{2}})'=-\frac{3.5}{2^4}(1+x)^{-\frac{7}{2}}[/tex]

значи допускаме и док по индукция че [tex]f^{(n)}=-(-1)^n\frac{(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}[/tex] за [tex]n \geq 2[/tex]

сега развитието е [tex]f(x)=f(a)+\sum{\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)}+\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\epsilon)[/tex]

[helena23451]

[tex]f'(x)=((1+x)^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f''(x)=(\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}})'=-\frac{1}{2^2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}[/tex]
[tex]f'''(x)=(-\frac{1}{2^2}(1+x)^{-\frac{3}{2}})'=\frac{3}{2^3}(1+x)^{-\frac{5}{2}}[/tex]
[tex]f''''(x)=(\frac{3}{2^3}(1+x)^{-\frac{5}{2}})'=-\frac{3.5}{2^4}(1+x)^{-\frac{7}{2}}[/tex]

значи допускаме и док по индукция че [tex]f^{(n)}=-(-1)^n\frac{(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}[/tex] за [tex]n \geq 2[/tex]

сега развитието е [tex]f(x)=f(a)+\sum{\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)}+\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\epsilon)[/tex]

A to4ka a=0 stava po Maklor1n nali?I az se opitah da go razviq no mi se polu4ava F(0)=1 i sled tova p1rvata ...proizvodni sa nuli
i nz kak da go razviq.A tova razvitie mn mi trqbva da go nau4a kak stava.
Blagodarq ti mnogo!Ako moje6 i zatova da mi pomogne6 6te ti b1da mn blagodarna

[martin123456]

[tex]f'(x)=((1+x)^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f''(x)=(\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}})'=-\frac{1}{2^2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}[/tex]
[tex]f'''(x)=(-\frac{1}{2^2}(1+x)^{-\frac{3}{2}})'=\frac{3}{2^3}(1+x)^{-\frac{5}{2}}[/tex]
[tex]f''''(x)=(\frac{3}{2^3}(1+x)^{-\frac{5}{2}})'=-\frac{3.5}{2^4}(1+x)^{-\frac{7}{2}}[/tex]

значи допускаме и док по индукция че [tex]f^{(n)}=-(-1)^n\frac{(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}[/tex] за [tex]n \geq 2[/tex]

сега развитието е [tex]f(x)=f(a)+\sum{\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)}+\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\epsilon)[/tex]

в точка 0 е просто като заместиш в горното развитие а с 0.
ще се получи [tex]f(x)=f(0)+\sum{\frac{(x)^n}{n!}f^{(n)}(0)}+\frac{(x)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\epsilon)[/tex], където [tex]f^{(n)}(0)=-(-1)^n\frac{(2n-3)!!}{2^n}[/tex]

[nikesho16]

Имам въпрос: Какво правим като намери f^n, то ли е равно на F(a) или имам, че F(a) = f^0 ?