Изследване на функция ????

[Гост]

[Knowledge Greedy]

Хоризонталната асимптота е явно [tex]y=0[/tex], защото [tex]\lim_{x \to +\infty } f(x)=0[/tex] .

[tex]f(x)=arcsin\frac{2x}{1+x^2 }[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{1}{ \sqrt{1-\left ( \frac{2x}{1+x^2 }\right )^2 } }.\frac {2(1+x^2)-2x(2x)}{(1+x^2)^2 }[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)\sqrt{\left ( 1-x^2 \right )^2}}[/tex]

От знака на първата производна правим изводи за интервалите на монотонност - те са както следва:
- в [tex](-\infty ; \,\ -1)[/tex] функцията намалява;
- в [tex](-1; \,\ 1)[/tex] функцията расте;
- в [tex]( 1; \,\ +\infty )[/tex] функцията намалява.

Следователно локалните екстремуми са - минимум в [tex]x_1=-1[/tex] и максимум в [tex]x_2=1[/tex]
(Независимо, че в тези точки първата производна не съществува, изводът правим от смяната на знака.)
Тези екстремуми имат стойности съответно [tex]\frac{\pi }{2 }[/tex] и [tex]-\frac{\pi }{2 }[/tex] .

Втората производна намираме от първата
[tex]f'(x)=\frac{2\epsilon}{(1+x^2)}[/tex],
като
[tex]\epsilon=-1[/tex] в интервалите [tex](-\infty ; \,\ -1)[/tex] и в [tex]( 1; \,\ +\infty )[/tex],
а в интервала [tex](-1; \,\ 1)[/tex]
приемаме [tex]\epsilon=1[/tex]

Моят графопостроител отказа да направи графиката на функцията, но предложи заместител, в който изпъкналостта не е правилно отразена, също и инфлексните точки. Те лесно се получават от втората производна.

Arcsin((2x)over(1+x^2)).PNG (8.5 KiB) Прегледано 5971 пъти

За точна графика, потърсете http://www.wolframalpha.com/