Помощ за граници, функции и интеграли

[ALL Red]

Можете ли да ми помогнете с тези задачи?

[mp3]

[tex]\lim_{x \to 2} \frac{12x-3x^{3} }{x^{2}+x-6 }=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to 2} \frac{-3x(x^{2}-4)}{(x-2)(x+3)}=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to 2} \frac{-3x(x -2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to 2} \frac{-3x(x+2)}{(x+3)}=[/tex]
[tex]=\frac{-3.2(2+2)}{(2+3)}=[/tex]
[tex]=\frac{-24}{5}=-4,8[/tex]

[Knowledge Greedy]

Аз също оценявам най-много умението да се направи графика на функцията. Това е върхът на знанията по математика в средния курс.

С една вертикална и една наклонена асимптота p.PNG (8.4 KiB) Прегледано 30658 пъти

Строежът на графиката може да започне с двете асимптоти. Вертикалната [tex]x=2[/tex] е очевидна, а наклонената [tex]y=x+4[/tex]- също, ако се отдели цяла част от функционалната зависимост. Последното става със схемата на Хорнер - на два реда.
[tex]y=x+4+\frac{12}{x-2 }+\frac{8}{(x-2)^2}[/tex]
С тази форма на представяне на функцията най-бързо с открива първата производна [tex]y'=1-\frac{12}{(x-2)^2 }-\frac{16}{(x-2)^3}=\frac{(x-2)^3-12(x-2)-16}{(x-2)^3}[/tex]
(Числителят [tex]u^3-12u-16=(u-2)(u+2)^2[/tex] - отново със схемата на Хорнер)

Втората производна - също леко [tex]\,\ y''=\frac{24}{(x-2)^3 }+\frac{48}{(x-2)^4}=\frac{24x}{(x-2)^4}[/tex]
Сега, който знае какво да прави с тях, го прави.

Ще се спра и на "промоционалните" 4а) и 4б).

[Knowledge Greedy]

Точките на 4 а) са вдигнати не просто за да се напасне общия брой, а за да се стимулира владеенето на табличните интеграли. Интегралът се разбива на следните таблични или леко свеждащи се до тях [tex]6\int_{}^{ }x^3dx-\int_{}^{ }(4-5x)^3dx+4\int_{}^{ }cos3xdx-\int_{}^{ }\frac{tg^3x}{cos^2x }dx+\int_{}^{ }\frac{\sqrt[3]{x^5} }{x^4 }dx[/tex]

4 б) се разбива по подобен начин [tex]\int_{}^{ }\frac{2}{ x}dx-\int_{}^{}\frac{ln^2x}{x } dx[/tex]
Първият от тях е [tex]2lnx[/tex],
а вторият е свеждащ се до табличен [tex]\int_{}^{ }ln^2xd(lnx)=\frac{1}{3 }ln^3x+C[/tex]

[tani4ka9504]

Здравейте,имам затруднение с тези задачи.Ще бъда безкрайно благодарна ако някой може да ми помогне.

[mp3]

tani4ka9504 , кажи къде точно ти е затруднението. Покажи до къде си стигнала. От многото задачи все нещо трябва да ти е ясно. Все пак си ходила на лекции, НАЛИ?

[Гост]

Моля някой ако може да реши поне една от тези задачи ;( Много ви моля ;(

[tani4ka9504]

Като цяло и на трите снимки които съм качила ме затрудняват 5-та и 6-та задача.ходила съм на лекции, но природно математиката не ми се отдава, затова имам нужда от помощ а нямам възможност за уроци.Ако някой има възможност и желание ще се радвам

[Knowledge Greedy]

5.1. [tex]\int_{}^{ }x^2sin(x^3)dx=\int_{}^{ }sin(x^3)d\left ( \frac{x^3}{3 } \right )[/tex]
[tex]=\frac{1}{3 } \int_{}^{ } sin(x^3)d\left ( x^3\right )=-\frac{1}{3}cos^3x+C[/tex]

5.2. [tex]\int_{}^{ }\frac{dx}{ \sqrt{x} } =\int_{}^{ } x^{-\frac{1}{2 }}dx=\frac{x^{-\frac{1}{2 }+1}}{ -\frac{1}{2 }+1}+C=2x^{\frac{1}{2 }}+C=2\sqrt{x}+C[/tex]

5.3. [tex]\int_{}^{ } x^2e^xdx=x^2e^x-\int_{}^{ } e^xdx^2=x^2e^x-\int_{}^{ } 2xe^xdx=[/tex]

[tex]=x^2e^x-2\int_{}^{ } xde^x=x^2e^x-2\left ( xe^x-\int_{}^{ } e^xdx \right )=(x^2-2x)e^x+2e^x+C=(x^2-2x+2)e^x+C[/tex]

[Knowledge Greedy]

5.1. [tex]\int_{}^{ } \frac{2}{x }dx=2\int_{}^{ }\frac{dx}{ x}[/tex] Това не е ли табличен интеграл?

5.2. [tex]\int_{}^{ }cos(3x-8)dx=\frac{1}{ 3}\int_{}^{ } cos(3x-8)d(3x)= \frac{1}{ 3}\int_{}^{ } cos(3x-8)d(3x-8)[/tex] Изглежда и това е табличен интеграл...[tex]\int_{}^{ }costdt[/tex]

5.3. [tex]\int_{}^{ }xsin3xdx[/tex] По части =[tex]\frac{1}{ 3} \int_{}^{ }xsin3xd3x =-\frac{1}{ 3} \int_{}^{ }xd(-cos3x)=\frac{1}{3 }(xcos3x -\int_{}^{ }cos3xdx)[/tex] и последният е табличен...

[Knowledge Greedy]

5.1. [tex]\int_{}^{ }e^{2x+1}dx=\frac{1}{2 }\int_{}^{ }e^{2x+1}d(2x)= \frac{1}{2 }\int_{}^{ }e^{2x+1}d(2x+1)=[/tex][tex]\leftarrow[/tex] - табличен

5.2. [tex]\int_{}^{ }\frac{lnx}{x }dx=\int_{}^{ }lnx\frac{dx}{x } \leftarrow[/tex] - табличен

5.3. [tex]\int_{}^{ }xcosxdx = \int_{}^{ }xdsinx=[/tex] по части [tex]\,\[/tex] [tex]=xsinx-\int_{}^{ } sinxdx=xsinx+cosx+C[/tex]

6.1. Първо пресмятаме неопределените интеграли. Ако означим [tex]F(x)=\int_{}^{ }x^3sin(x^4)dx[/tex],
поради [tex]F(x)=-\frac{1}{4 } cos(x^4)+C[/tex] - пресмятахме вече една такава, то [tex]\int_{0}^{1}x^3sin(x^4)dx=-[F(1)-F(0)]=\frac{1}{ 4}(1-cos1)[/tex]

6.2. Означаваме [tex]F(x)=\int_{}^{ }lnxdx[/tex] [tex]\, \[/tex] Интегрираме по части [tex]F(x)=xlnx-\int_{}^{ }xdlnx[/tex]
Получаваме [tex]F(x)= xlnx-x+C[/tex]
Намираме определения интеграл [tex]\int_{1}^{2 }lnxdx=F(2)-F(1)=2ln2-1[/tex]