Задачки,закачки...

[MDimitrov]

Здравейте,приятели!Би ли някой помогнал с решението на следните задачи:

2.jpg (118.13 KiB) Прегледано 298 пъти

Искрени благодарности! : )

[Knowledge Greedy]

3. а) Рационализираш и числителя, и знаменателя; съкращаваш каквито множители се получават (съдържащи потенциалната безкрайност) - мисля, че е [tex](x-x^2)[/tex]; изнасяш множител [tex]x[/tex] и от числителя, и от знаменателя - съкращаваш и него; от останалото главната част в числителя е [tex]1[/tex], а в знаменателя е [tex]-1[/tex], следователно границата е [tex]-1[/tex].
3. б) В числителя - сума на [tex]n[/tex] - членна аритметична прогресия; от знаменателя пред корен излиза [tex]3n^2[/tex] и след съкращаването му остава главна част (в безкрайността) числото [tex]\frac{1}{2 }[/tex].
3. в) Представяш [tex]tgx=\frac{sinx}{cosx }[/tex] ; изнасяш [tex]sinx[/tex] от числителя и [tex]x[/tex] от знаменателя; имаш вече един множител с известна граница [tex]\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}[/tex]; остава [tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-cosx}{x^2cosx}=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to 0} \frac {2sin^2 {\frac{x}{2} }}{ 4 \left ( \frac{x}{2 } \right )^2cosx}[/tex] и прилагаш същата тази основна граница от преди малко; знаеш, че [tex]\lim_{x \to 0} cosx=1[/tex] и окончателният отговор е [tex]\frac{1}{2 }[/tex].
Пропуснах първото 3. б) - също с рацонализиране и изнасяне на множител [tex]x[/tex] и от числителя, и от знаменателя, след съкращаването му остава [tex]\frac{a+b}{2 }[/tex]

В 4.а.), доколкото виждам без лупа, общият член се представя във вида [tex]\left ( 1-\frac{3}{n-1 } \right )^{n^2}[/tex] има граница [tex]0[/tex] и има надежда редът да е сходящ. Провери по някой от критериите - например на Коши, струва ми се ще даде бърз резултат.
4. б) Образуваме частното [tex]\frac{u_{n+1}}{ u_n} =\frac{1}{ 4}.\frac{(n+1)^n}{n^n }[/tex]. Прилагаме граничната форма на критерия на Д`Аламбер и понеже [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{u_{n+1}}{ u_n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{ 4}. \left ( 1+ \frac{1}{n } \right )^n=\frac{e}{4 } <1[/tex], правим извод, че редът е сходящ.