Монотонна функция.

[Гост]

Нека f: [a,b] --> R да бъде монотонна функция. Да се докаже, че съществува g такава че g'=f тогава и само тогава когато f е непрекъсната.

[ptj]

http://fmi.wikidot.com/anal203

Обратното следва от теоремата за връзка между диференцируемост и непрекъснатост.

[Гост]

Да! Понеже f е монотонна то тя е интегр. и ако дефинираме g да е интеграла на f като функц. на горната граница то понеже f е непрекъсната то g трябва да е диференцуема в интервала и g'=f. По-интересно е да се докаже, че ако g'=f то f е непрекъсната в [a,b].

[ptj]

По-интересно е да се докаже, че ако g'=f то f е непрекъсната в [a,b].

Това ми се струва невярно, защото за да е интегруруема една функция, тя трябва да има изброимо множество точки на прекъсване.

[Гост]

. Трябва да е вярно. Поне според моето доказателство. Ще го пусна скоро, да дадем възможност на другите.

[Гост]

използвай факта че е монотонна f

[drago]

Така, нека [tex]g[/tex] e диференцируема функция. Тогава [tex]g'[/tex] може да не е непрекъсната, но не може да е каква да е. Теоремата на Дарбу казва, че [tex]g'[/tex] приема всички междинни стойности. Т.е. ако [tex]y[/tex] е между [tex]g'(a)[/tex] и [tex]g'(b)[/tex] то има [tex]x\in (a,b)[/tex], такова, че [tex]g'(x)=y[/tex].
Като имаш предвид това, то ако знаем, че [tex]g'[/tex] е монотонна, ясно е че трябва да е непрекъсната, за да има това свойство.

[ptj]

Забравил съм поне половината теореми от анализа...

[Гост]

Не виждам как от последното изречение следва, че f трябва да е непрекъсната.

[ptj]

Не виждам как от последното изречение следва, че f трябва да е непрекъсната.

Формално обяснение:
Когато [tex]x[/tex] пробягва от [tex]a[/tex] към [tex]b[/tex] всички реални стойности на интервала [tex][a;b][/tex],
[tex]f(x)[/tex] минава постъпателно през всички реални точки между [tex]f(a)[/tex] и [tex]f(b)[/tex] и тогава графиката и е непрекъсната линия.

Строго доказателство:

Нека [tex]f[/tex] e монотонно растяща и [tex]t[/tex] е произволна точка от [tex](a;b)[/tex].
[tex]\forall \epsilon: f(t)-f(a)>\epsilon>0:[/tex] съгласно теоремата на Дарбу [tex]\exists \varphi\in (a;t): f(\varphi)=f(t)-\epsilon[/tex]

Нека [tex]\varphi<s<t[/tex]. От монотонността на [tex]f[/tex] имаме [tex]f(\varphi)\le f(s) \le f(t)\Rightarrow f(t)-f(s)\le \epsilon[/tex].
От теоремата на Дарбу за [tex][s;t] \Rightarrow \exists \xi\in (s;t):f(s)<f(\xi)<f(t)\Rightarrow f(t)-f(\xi)<\epsilon[/tex].
Oт монотонноста на [tex]f\Rightarrow \xi\in (s;t)[/tex], т.е.

[tex]\exists \lim_{x \to t-0} f(x)=f(t)[/tex].

За дясна граница и монотонно намаляваща функция разсъжденията са аналогични.

П.П. Интересен е въпроса: дали може да се каже нещо за мощността на множеството от локални екстремуми на непрекъсната функция в даден интервал, т.е. дали те могат да бъдат неизброимо множество или не.

[ptj]

Подобна идея на доказателство има следната по-обща теорема:

[tex]\forall[/tex] монотонно сюрективна функция [tex]f : \Delta \rightarrow R[/tex], където [tex]\Delta[/tex] e интервал:

[tex]f[/tex] е непрекъсната [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]f(\Delta)[/tex] e интервал.

[drago]

... Интересен е въпроса: дали може да се каже нещо за мощността на множеството от локални екстремуми на непрекъсната функция в даден интервал, т.е. дали те могат да бъдат неизброимо множество или не.

Ако имаш предвид стриктни екстремуми, то не може да са неизброимо, тъй като всеки лок. ексремум се отделя с интервал от останалите, а не може да има неизброимо много непресичащи се (две по две) интервали. Защо?
Иначе може, напр. константната ф-я.

[ptj]

Мерси, интервалите ще съдържат рационални числа, които са изброимо множество.

[Гост]

Моето доказателство е подобно, но вместо Дарбу използва класическата Теорема за Средните Ст-ти :

Имаме, че f е монотонна и интегреруема и че g'=f т.е. g е диференцуема в всяко c[tex]\in[/tex][a,b]. Тогава за всяко епсилон, съществува делта такова, че |x-c|< [tex]\delta[/tex] означава че


епсилон >|[tex]\frac{g(x)-g(c)}{x-c}[/tex] - f(c) |= |g'(t) - f(c) |=|f(t) - f(c)|, поради съществъването на t между c и x, понеже g е диференцуема следователно непрекъсната т.е. може да приложим ТСС. Тогава понеже f е монотонна => за всяко y[tex]\in[/tex](c,t) => |f(y)-f(c)|<=|f(t)-f(c)|<епсилон т.е. съществуването на t и монотонността ни дават нужната отворена околност на c, т.е. делта' такова че ако y е в делта' околността на c то f(y) е в епсилон околноста на f(c). Следователно f е непрекъсната във всяко c на [a,b].