Сходимост

[Гост]

Да се докаже, че ако сумата [tex]\sum_{x=0}^{\infty }x_{n }[/tex] е сходяща то и [tex]\sum_{x=0}^{\infty }x_{n }/n[/tex] е сходяща

[drago]

Може да е малко странно, но това не е вярно. Би било вярно, ако е посочено, че [tex]x_n \ge 0[/tex] , но тогава е тривиално.

[Гост]

:) Добре! И аз стигнах до същият извод. Редовете трябва да са абсолютно сходими тогава е лесно. И все пак трябва контра пример за да сме сигурни. Доказателство на твърдението или контрапример.

[drago]

Да, контрапример. Идеята е следната. Вървят някакви положителни малки [tex]x_i[/tex] дълго време, след това се редуват отрицателни със същите значения, така че тази поредица взаимно се нулира, след това пак същото с още по-малки [tex]x_i[/tex] и т.н. Обчаче като разделиш всяко [tex]x_i[/tex] на [tex]i[/tex] нещата се разбаласират, тези групи не се нулират, остава по малко положително нещо, което се натрупва и редът вече не е сходящ. Сега просто направи няколко опита и го конструирай.

[Гост]

Не мисля, че ще стане както го казваш. Пробвай :)

[drago]

Да, явно съм сгрешил. След два неуспешни опита за контрапример се убедих, че няма шанс и твърдението си е ОК.
Сега да го докажем. Сумираме по части (т.н. формула на Абел):
[tex]\left|\sum_{j=n}^m x_j \cdot \frac{1}{j}\right|=\left|\frac{1}{m}\sum_{j=n}^m x_j -\sum_{j=n}^{m-1}(\frac{1}{j+1} -\frac{1}{j}) \sum_{i=n}^j x_i \right|[/tex]
Сега ако изберем [tex]N[/tex] дост. голямо, т.ч. при [tex]n,m>N[/tex] да е изпълнено [tex]|\sum_{j=n}^m x_j | <\epsilon[/tex], от горното следва:

[tex]\left|\sum_{j=n}^m x_j \frac{1}{j}\right| < \epsilon \cdot 1/m + \epsilon \sum_{j=n}^{m-1} \frac{1}{j^2}[/tex]

Тъй, като [tex]\sum 1/j^2[/tex] e сходящ, нататък е ясно.

[Гост]

Изглежда ми да е грешно решението. Не можеш да изкраш последното епсилон от модула ако сумата вътре не е абсолютно сходяща.

[drago]

Какво точно не е ясно? Виж каква е дефиницията за сходимост на ред- примерно по Коши.
Значи ако избера [tex]\epsilon>0[/tex], то съществува [tex]N[/tex], т.ч. при [tex]j,k > N[/tex] e изпълнено [tex]|\sum_{i=j}^k x_i | <\epsilon[/tex]
Значи в горния пост имаме [tex]|\sum_{i=n}^j x_i|< \epsilon \,,\, j=n,n+1,\ldots, m[/tex].
Така, че спокойно мога да направя това, което съм направил.

[Гост]

Да! Прав си. Добро решение.