Локални екстремуми на функция

[Гост]

Можете ли да ми кажете как да реша следната задача:
Намерете локалните екстремуми на функцията: z=1+6x-x^2-xy-y^2

[math10.com]

Не мога да го обясня много добре.В предходен пост в раздела "Knowledge Greedy" го беше описал по-добре.

Намираме 1-вите частни производни:

[tex]z'_x=\frac{d z}{dx}=6-2x-y[/tex]
[tex]z'_y=\frac{d z}{dy}=-x-2y[/tex]

Решаваме система уравнения от нулите на 1-вите частни производни и намираме критичните точки:

[tex]\begin{array}{|l} \frac{d z}{dx}=6-2x-y =0\\ \frac{d z}{dy}=-x-2y= 0 \end{array} \Rightarrow x_0=4 ; y_0=-2[/tex]

Намираме 2-рите частни производни:

[tex]z''_{xx}=\frac{d^2 z}{dx^2}=-2[/tex]
[tex]z''_{yy}=\frac{d^2 z}{dy^2}=-2[/tex]
[tex]z''_{xy}=\frac{d^2 z}{dxdy}=z''_{yx}=\frac{d^2 z}{dydx}=-1[/tex]

Образуваме детерминантата [tex]\Delta (x,y)=z''_{xx}.z''_{yy}-z''_{xy}.z''_{yx}=3[/tex]
[tex]\Delta >0 \Rightarrow z[/tex] има екстремум
[tex]z''_{xx} <0 \Rightarrow[/tex] има максимум

[tex]\Rightarrow z(4,-2)=13[/tex] е локален максимум


А ако Висшата математика те затруднява става и с елементарна....

[tex]z=1+6x-x^2-xy-y^2=[/tex]
[tex]=1+6x-\frac{3}{4}x^2 -(\frac{1}{2}x+y)^2[/tex]
[tex]=13-\frac{3}{4}(16-8x+x^2)-(\frac{1}{2}x+y)^2[/tex]
[tex]=13-\frac{3}{4}(x-4)^2-(\frac{1}{2}x+y)^2[/tex] , което очевидно приема максимална стойност [tex]z=13[/tex] ,за [tex]x=4[/tex] и [tex]y=-\frac{1}{2}x=-2[/tex]