Сходимост към Модифицирана Дирихле функция

[Варна]

Обикновенната Дирихле функция D(x) в интервала [0,1] е равна на 0 за всяко ирационално x и 1 за всяко рационално x. Модифицираната Дирихле функция D(x) в интервала [0,1] е равна на 0 за всяко ирационално x и 1/q за всяко рационално x=p/q където p и q са във взаимно прост вид.

1.Да се покаже че Модифицираната функция на Дирихле е граница на поточкова(pointwise) сходимост на фамилия от НЕПРЕКЪСНАТИ в [0,1] функции.
2.Да се докаже че обикновенната Дирихле финкция не е граница на поточкова(pointwise) сходимост на никоя фамилия от НЕПРЕКЪСНАТИ в [0,1] функции.

поточкова сходимост на фамилия от функции е границата на числовата редица от стойностите на всеки член на фамилията от функции т.е. редицата от стойности [tex]f_{n }[/tex](x) за всяко n, и това взето за всяко x от интервала в случая [0,1]. Т.е. за всяко x имаме съответната числова редица от стойнисти на функцията за всяко n.

[drago]

Това е следствие от известен и класически резултат на Лебег.
Ако имаме поточково сходяща редица [tex]f_n[/tex] от непрекъснати ф-ии, границата [tex]f[/tex] може да не е непрекъсната (за да твърдим това трябва да поискаме равномерна сходимост).Обаче множеството от точки, където ф-ята [tex]f[/tex] е прекъсната не може да е твърде "голямо", в смисъл на Бер- то е от първа категория. Това е резултата на Лебег, и е едно приложение на теоремата на Бер за категориите. Един вид поточковата граница на непрекъснати ф-ии не може да е твърде лоша.
Тъй като първата посочена ф-я е прекъсната във всяка точка, тя не може да е граница на редица от непрек. ф-ии. Втората ф-я(всъщност тя се нарича ф-я на Дирихле, или поне аз така знам) е непрекъсната в ирационалните точки и прекъсната в рационалните, които са "малко" и е кандидат да бъде граница от непрекъснати ф-ии. Примерът не е толкова сложен.

[Варна]

Еми дай го де. Примера имам предвид

[drago]

Еми, добре, щом настояваш.
Нека [tex]f(x)[/tex] e ф-ята на Дирихле. Означаваме [tex]Q_n = \{p/q \in (0,1) : (p,q)=1, q\leq n \}\,,\, n=1,2,\dots[/tex] . Ясно е, че [tex]Q_n[/tex] е крайно множество. Фиксирай [tex]n[/tex]. Около всяка точка в [tex]Q_n[/tex] построяваме малка околност, така че да ги отделим. Дефинираме [tex]f_n[/tex] по селдния начин. [tex]f_n(x) =f(x)[/tex] за всяко [tex]x\in Q_n[/tex]. Вътре в околността около [tex]x,\, f_n[/tex] е "зъб от трион", като в двата края е [tex]0[/tex]. Извън построените околности [tex]f_n[/tex] е нула. Сега остава да видиш, че [tex]f_n(x) \to f(x)[/tex].

[Варна]

[tex]f_{n }[/tex] по начина по които си я дефинирал е прекъсната. Не забравяй че в задачата се иска Дирихле функцията да е граница на сходимост на фамилия от НЕПРЕКЪСНАТИ функции.

[Варна]

Може би вътре трябва да е дефинираме като изтински, триъгълен зъб от трион, а не правоъгълен зъб от трион? Това струва ми се ще работи.

Опа да видях, че ти всъщност точно така я дефинираш.

Чудесно решение, благодаря.

[Варна]

Оппа виждам проблем. Ако твоето решение е вярно, то бихме могли да дефинираме фамилия от непрекъснати функции които се сходяват към обикновенната ( 0 за ирац, и 1 за рац. ) Дирихле функция което е невярно. Слабото място на решението ти според мен е следното: Не можеш да намериш необходимата ти околност около всяко x[tex]\in[/tex] [tex]Q_{n }[/tex] в случая когато n е произволно голямо, а на теб ти трябва точно такова n-да е произволно голямо за да можеш да сходиш [tex]f_{n}[/tex] към модифициранатa Дирихле функция. Мисля си, че трябва да се докаже че във дадената околност сумата от безброй много "трионовидни" функции е по малка от безкрайност, както и че е непрекъсната. (Понеже във всяка околност рано или късно ще имаме безброй много рационални т.е. безброй много триони)

Аз използвах малко по-различен подход който ме доведе до същият проблем. Първо разгледах една непрекъсната функция която е нула навсякъде освен във 1/n околността на дадено рационално число. Вътре в околноста е триъгълен зъб от трион, със връх равен на 1/q, т.е. Стойността на Мод. Дирихле в тази точка. После дефинирам [tex]f_{n}[/tex] да ми е сумата от всички такива функции, за всички рационални числа в [0,1]. Поточковата граница на тези функции(всяко от които е безкрайна(но изброима) сума на единично-трионни функции) е точно Мод. Дирихле ф-я. Сега трябва да се докаже че те са непрекъснати. Тука виждаме 1-та разлика със Нормалната Дирихле Функция, че ако се дефинират да се сходяват към нея, то с нарастването на n представителят [tex]f_{n}[/tex] ще нарастне до безкрайност. При модифицираната обаче имаме краен брой рационални за които 1/q е по-голямо от всеки избор на епсилон и това дава някаква надежда. Тоест натъквам се на същият проблем който ти си пропуснал да вземеш под внимание.

[drago]

Това, че няколко пъти си променяш мнението всъщност е добре. Показва че анализираш. Сега, има два ваеианта: аз съм пропуснал да взема нещо под внимание и примера е дефектен или ти нещо пропускаш. И двата са напълно възможни. Ако обаче не си сигурен, по добре попитай за повече аргументи.
Няма сума на безброй много функции, това е редица, не е ред. Всяко [tex]f_n[/tex] e по части линейна,непрекъсната функция, която в по-малка от 1. Когато [tex]n[/tex] расте, появяват се нови "зъбчета", но те са все по-малки(в това е разликата с другата ф-я), а старите зъбчета си остават със същата височина, но изтъняват. Виж, ако ти е трудно да се убедиш, всеми дефиницията и порвери. За това преди повече от 100 години са измислили епсилон делта техниката, защото е станало трудно само с интуиция.
Та така да вземем едно [tex]x_0[/tex] и да докажем [tex]f_n(x_0) \to f(x_0)[/tex]. Ако [tex]x_0[/tex] е разционално, нещата са ясни. Нека [tex]x_0[/tex] е ирзционално. Вземи си едно [tex]\epsilon>0[/tex]. Трябва да покажеш, че от някое място нататък [tex]|f_n(x_0)| < \epsilon[/tex].
Вземи [tex]N[/tex], т.ч. [tex]1/N < \epsilon[/tex] и разгледай [tex]f_N[/tex]. Ако [tex]f_N(x_0) < \epsilon[/tex], то ще имаме също че [tex]f_n(x_0)<\epsilon[/tex] при всяко [tex]n>N[/tex]. Да кажем, че [tex]f_N(x_0) \geq \epsilon[/tex]. Забележи че при [tex]n>N, f_n(x) = f^*_N(x) + \Delta f(x)[/tex], където [tex]\Delta(x) < \epsilon[/tex] навсякъде, a [tex]f^*_N[/tex] има същия брой зъбчета като [tex]f_N[/tex], със същата височина, но нейния носител става все по "тънък" и за някое [tex]N_1 > N[/tex], и за всички последващи го, ще имаме [tex]f^*_{N_1}(x_0)=0[/tex]. Това просто означава, че при [tex]n>N_1 , |f_n(x_0)| < \epsilon[/tex].
Сега ясно ли е.

П.П. Казва се редица, не фамилия. Фамиилията е едно множество, в което няма подредба. Понятието сходимост изискава подредба (поне частична).

[Варна]

Ок. Сега разбрах. Благодаря много.