Сума на ред

[Гост]

Здравейте, трябва да намеря сумата на реда [tex]\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{4n^2 + 8n - 5}[/tex] знам че сумата се дефинира като граница, обаче не знам как да го приложа. Много ще се радвам ако някой ми обясни как става.

[pipi langstrump]

Направи го телескопичен - http://en.m.wikipedia.org/wiki/Telescoping_series

[Knowledge Greedy]

Ето защо трябва да знаем, що е то дискриминанта (Реплика към мои ученици.)

Означаваме [tex]S=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{4n^2+8n-5}[/tex].

Ще получим [tex]S[/tex], като граница на [tex]S(m)=\sum_{n=0}^{m }\frac{1}{4n^2+8n-5}[/tex] при [tex]m \rightarrow +\infty[/tex]
Представяме всеки член на реда като сбор на елементарни дроби.
За тази цел разлагаме знаменателите на линейни множители.
[tex]4n^2+8n−5=(2n-5)(2n+1)[/tex]

Тогава [tex]\frac{1}{4n^2+8n-5}=\frac{1}{6}\left ( \frac{1}{2n-5} -\frac{1}{2n+1}\right )[/tex]

Следователно [tex]6S(m)=\sum_{n=0}^{m }\left ( \frac{1}{2n-5} -\frac{1}{2n+1}\right )=\sum_{n=0}^{m } \frac{1}{2n-5}-\sum_{n=0}^{m } \frac{1}{2n+1}[/tex]

Подробно:
[tex]6S(m)=\sum_{n=-2}^{m-2 } \frac{1}{2n-1}- \sum_{n=1}^{m+1} \frac{1}{2n-1}[/tex]


[tex]6S(m)=-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}-1+\cancel {\sum_{n=1}^{m-2 } \frac{1}{2n-1}}- \cancel {\sum_{n=1}^{m-2 } \frac{1}{2n-1}}-\frac{1}{2m-3}-\frac{1}{2m-1}-\frac{1}{2m+1}[/tex]

Намираме границата [tex]\lim_{m \to +\infty}S(m)=-\frac{23}{90}[/tex]
Отг. [tex]S=-\frac{23}{90}[/tex]

Ако сте разбрали това, може да четете чудесните препоръки http://en.m.wikipedia.org/wiki/Telescoping_series
на колегата pipi langstrump.

[pipi langstrump]

[tex]4n^2+8n−5=(2n-5)(2n+1)[/tex]

Разменил си + и -
Отговора май e 1/18, ако не ме лъже excel.

[Knowledge Greedy]

Да, Excel лъже само в крайно особени случаи, а този не е такъв
Намерената от мен сума очевидно е за реда [tex]\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{2n^2-8n-5}[/tex]
Моля за извинение!