Монотонност на функцията f(x)=|x|- |x-1|

[Гост]

Някой може ли да реши следната задача?
Дадена е функцията f(x)=|x|- |x-1|
Трябва да се намери максималният по големина интервал на строга монотонност.

[ptj]

Просто разглеждаш 3-те интервала според нулите на модулите:

1.)[tex]x\in(-\infty;0) : f(x)=-x+(x-1)=-1[/tex]

2.)[tex]x\in[0;1] : f(x)=x+(x-1)=2x-1[/tex]

3.)[tex]x\in(1;+\infty) : f(x)=x-(x-1)=1[/tex]

Окончателно [tex]f(x)[/tex] е строго растяща при [tex]x\in[0;1][/tex].

[Гост]

Включвам се в тази тема, за да не създавам друга. Въпросът ми е как ще се реши задачата:
[tex]y=\frac{x^{2} + 4}{x - 3}[/tex]
Иска се да се намери интервалите на монотонност, екстремумите, асимптотите, изследвайте за изпъкналост и вдлъбнатост и постройте графиките на функцията.
Предварително благодаря.

[Knowledge Greedy]

Представяме [tex]y=\frac{x^2-9+13}{x-3}[/tex].
От този вид
[tex]y=x+3+\frac{13}{x-3}[/tex]
веднага изводи:
- наклонена асимптота [tex]y=x+3[/tex]
- вертикална асимптота [tex]x=3[/tex]

- първа производна [tex]y'=1-\frac{13}{(x-3)^2}[/tex]

- y е монотонно растяща в [tex]\left ( -\infty; 3-\sqrt{13} \right )[/tex] и в [tex]\left ( 3+\sqrt{13}; +\infty \right )[/tex]
- y е монотонно намаляваща в [tex]\left ( 3-\sqrt{13}; \,\ 3 \right )[/tex] и в [tex]\left ( 3; \,\ 3+\sqrt{13} \right )[/tex]
- [tex]\Rightarrow[/tex] y[tex]_{max} \,\ = \,\ y( 3-\sqrt{13})=6-2\sqrt{13}[/tex]
- [tex]\Rightarrow[/tex] y[tex]_{min} \,\ = \,\ y( 3+\sqrt{13})=6+2\sqrt{13}[/tex]

- втора производна [tex]y''=\frac{26}{(x-3)^3}[/tex]
-[tex]\Rightarrow[/tex] в интервала [tex](-\infty;3)[/tex] [tex]y[/tex] вдлъбната (изпъкнала нагоре) в [tex](-\infty; 3)[/tex]
-[tex]\Rightarrow[/tex] в интервала [tex](3; \infty)[/tex] [tex]y[/tex] изпъкнала в [tex](3; +\infty)[/tex]

Графика.

една графика с асимптоти.png (12.71 KiB) Прегледано 529 пъти

[Гост]

Knowledge Greedy, благодаря много за бързия отговор!