Криволинейни интеграли

[Гост]

Здравейте, ще съм изключително благодарен, ако някой ми помогне с решението на следните два криволинейни интеграла:
[tex]\int\limits_{c}^{} - x^{2}ydx + xy^{2}dy[/tex]
[tex](c):x^{2}+y^{2}=a^{2}[/tex]


[tex]\int\limits_{c}^{}(x^{2} - 2xy)dx+ (y^{2} -2xy)dy[/tex]
[tex](c):y=x^{2}, от A(-1,1) до B(1,1)[/tex]

[Anubis]

Криволинейният интеграл от втори род може да бъде сведен до единичен Риманов интеграл чрез подходяща параметризация. Параметризацията на окръжността

[tex]x^2+y^2=a^2[/tex]

ще изглежда така: [tex]x = a \cos t, \, y = a \sin t, \, 0 \le t \le 2 \pi[/tex].

[tex]dx(t) = x'(t)dt \Rightarrow dx = -a \sin t dt; \, dy(t) = y'(t)dt \Rightarrow dy = a \cos t dt[/tex]

След преобразуване стигаме до стандартния интеграл на една променлива

[tex]2a^4 \int_{0}^{2 \pi} (\sin t \cos t)^2 dt[/tex],

който се решава по познатия начин.

[tex]2a^4 \int_{0}^{2 \pi} \left ( \frac{\sin 2t}{2} \right )^2 dt = \frac{a^4}{2} \int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 4t}{2}dt = \frac{a^4}{2} \left ( \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}dt - \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos 4t dt \right ) = \frac{a^4\pi}{2}[/tex]

[Anubis]

Извършваме параметризация на параболата: [tex]x=t, \, y=t^2, \, -1 \le t \le 1[/tex]. Тогава [tex]dx=dt, \, dy=2tdt[/tex].

[tex](x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy=(t^2-2 \cdot t \cdot t^2)dt+(t^4-2 \cdot t \cdot t^2)dt=(t^2-2t^3)dt+(t^4-2t^3)dt=(t^4-4t^3+t^2)dt[/tex]

[tex]\int_{-1}^{1}(t^4-4t^3+t^2)dt=\frac{t^5}{5}|_{-1}^{1}-4\frac{t^4}{4}|_{-1}^{1}+\frac{t^3}{3}|_{-1}^{1}=\frac{2}{5}+\frac{2}{3}=\frac{16}{15}[/tex]