Намиране лице на фигура чрез определени интеграли

[Гост]

Намерете лицето на частите,на които параболата 2y=2-x^2 разделя кръга x^2+y^2<=5.

Доколкото знам трябва да образува система a<=x<=b
f(x)<=y<=g(x)
и да решим интеграла [tex]\int\limits_{a}^{b}[/tex] (g(x)-f(x))dx

Открих,че x e [-2;2],след това от даденото уравнение и неравенство (2-x^2)/2<=y<=(5-x^2)^(1/2) , като за второто не съм убеден,защото после с интеграла става мазало.
Ако може някой да каже как се решава задачата или поне метода,ще съм благодарен.

[Anubis]

Използвай следния код на Wolfram Mathematica:

Код: Избери целия код

p = 1-x^2/2;
q1 = Sqrt[5-x^2];
q2 = -Sqrt[5-x^2];
plot1 = Plot[{p,q1,q2,-1},{x,-Sqrt[5],Sqrt[5]},
PlotStyle->{Blue,Green,Green,Magenta}];
plot2 = ListPlot[{{-2, -1}, {2, -1}, {0, 1}, {0, -Sqrt[5]}},
   PlotStyle -> {Orange, PointSize[0.02]}];
Show[plot1, plot2]
s1 = Integrate[Integrate[1, {y, -1, 1 - x^2/2}], {x, -2, 2}]
N[s1]
s2 = Integrate[Integrate[1, {y, -Sqrt[5 - x^2], -1}], {x, -2, 2}]
N[s2]
s = N[s1 + s2]


Лицето на сегмента [tex]\widehat{AQBPA}[/tex] можеш да пресметнеш като сума на лицата на сегментите [tex]\widehat{AQBA}[/tex] и [tex]\widehat{BPAB}[/tex].

[tex]S_{\widehat{AQBPA}} = S_{\widehat{AQBA}}+S_{\widehat{BPAB}} \Rightarrow S_{low} = \int \int_{\widehat{AQBPA}} dxdy =
\int \int_{\widehat{AQBA}} dxdy + \int \int_{\widehat{BPAB}} dxdy \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow S_{low} = \int_{-2}^{2} \left ( \int_{-\sqrt{5-x^2}}^{-1} dy \right ) dx +
\int_{-2}^{2} \left ( \int_{-1}^{1-\frac{x^2}{2}} dy \right ) dx \approx 5.33334 + 3.53574 \approx 8.86908[/tex]

Двойните Риманови интеграли са сведени до повторни. Остава да ги сметнеш. Другото лице ще намериш, като от лицето на кръга с радиус [tex]\sqrt{5}[/tex] извадиш току-що полученото, т. е. [tex]S_{high} = 5\pi-S_{low} \approx 15.708-8.86908 \approx 6.83889[/tex].

[pal702004]

Лицата на двата сегмента могат да се пресметнат и с единични интеграли (ако ти е по-удобно). Предвид четността на функциите

[tex]S_1=2\int\limits_0^2(1-\frac{x^2}{2}+\sqrt{5-x^2})dx=\frac{10}{3}+5\arctan 2[/tex]

Подинтегралната функция е сбор на [tex]2-\frac{x^2}{2}[/tex] и [tex]\sqrt{5-x^2}-1[/tex]