неявна функция

[Гост]

Здравейте,
Някой може ли да ми помогне със следната задача:

Неявната функция z(x, y) е определена от уравнението z = x + arctg (y / z - x). Намерете z'x и z'y

[Knowledge Greedy]

[tex]z = x + arctg\frac{y}{z-x}[/tex]

Диференцираме двете страни по [tex]x[/tex]

[tex]z'_x=1+\frac{1}{1+\left ( \frac{y}{z-x}\right )^2}.\frac{-y}{(z-x)^2}.(z'_x-1)[/tex]
еквивалентно на
[tex]z'_x=1-\frac{y(z'_x-1)}{(z-x)^2+y^2}[/tex]

Аналогично диференцираме по [tex]y[/tex]

[tex]z'_y=\frac{1}{1+\left ( \frac{y}{z-x}\right )^2}.\frac{-z'_y}{(z-x)^2}[/tex]

Окончателно [tex]\begin{array}{|l} z'_x=1 \\ z'_ y = 0 \end{array}[/tex]

[Гост]

Как стигаме до z'x = 1 и z'y = 0?

[Knowledge Greedy]

Е, хайде сега!?
Виж първата формула [tex]z'_x=1+\frac{y(z'_x-1)}{(z-x)^2+y^2}[/tex]
Прехвърляш единицата отляво
[tex]z'_x-1=\frac{y(z'_x-1)}{(z-x)^2+y^2}[/tex]

и виждаш един и същи множител [tex](z'_x-1)[/tex] отляво и отдясно.
Прехвърляш и останалото и изнасяш този общ множител
[tex](z'_x-1)\left ( 1- \frac{y}{(z-x)^2+y^2}\right )=0[/tex]

Ако не ти се вярва, че [tex]z'_x-1=0[/tex], значи вторият множител е нула.
Добре, нека е така
[tex]1- \frac{y}{(z-x)^2+y^2}=0[/tex]
Но оттук [tex]z[/tex] си се изразява напълно редовно като явна функция [tex]z=z(x, \,\ y)[/tex]
а тя в условието не е такава.
За [tex]z'_y[/tex] дори е по-лесно, ако това дето го учим е реален анализ.

[Гост]

Благодаря :)

[drago]

Окончателно [tex]\begin{array}{|l} z'_x=1 \\ z'_ y = 0 \end{array}[/tex]

Ако това е така, то [tex]z[/tex] трябва да е линейна ф-я (равнина), а това не е така. Има някаква грешка в сметките. [tex]z'_x[/tex] е [tex]1[/tex], тъй като [tex]z-x[/tex] не зависи от [tex]x[/tex]. Пролемът е в пресмятането на [tex]z'_y[/tex].

[Гост]

[tex]z=x+arctg\frac{y}{z-x}[/tex]

[tex]z'_y=\frac{1}{1+\left ( \frac{y}{z-x} \right )^2}. \left ( \frac{y}{z-x} \right )'_y[/tex]

[tex]z'_y=\frac{1}{1+\left ( \frac{y}{z-x} \right )^2}. \frac{z-x-yz'_y}{(z-x)^2}[/tex]

[tex]z'_y= \frac{z-x-yz'_y}{(z-x)^2+y^2}[/tex]

[tex]z'_y= \frac{z-x}{(z-x)^2+y^2+y}[/tex]