Задача за функции

[Гост]

Здравейте! Ето тази задача ме затруднява..много ще съм ви благодарна, ако ме насочите как да я реша :)

[Добромир Глухаров]

За да съществува първата производна за [tex]x=0[/tex], трябва [tex]f(x)[/tex] да е непрекъсната в [tex]x=0[/tex] и лявата и дясна производни да съществуват за [tex]x=0[/tex] и да са равни помежду си.

[tex]\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0-}f(x)=f(0)[/tex]

[tex]\lim_{x\to0+}e^x\frac{sin\ x}{x}=\lim_{x\to0-}\left(Ax\sqrt[3]{1+x}+B\right)=f(0)[/tex]

[tex]1=A.0+B=f(0)[/tex]

[tex]B=1[/tex]

[tex]f'(0)=\lim_{x\to0+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/tex]

[tex]f'(0)=\lim_{x\to0+}\frac{e^x\frac{sin\ x}{x}-1}{x}=\lim_{x\to0-}\frac{\left(Ax\sqrt[3]{1+x}+B\right)-1}{x}[/tex]

Границата [tex]\lim_{x\to0+}\frac{e^x\frac{sin\ x}{x}-1}{x}[/tex] намираме по правилото на Лопитал, а другата просто чрез заместване.

[tex]f'(0)=1=A[/tex]

[tex]A=1[/tex]

[tex]f''(0)=\lim_{x\to0+}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim_{x\to0-}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}[/tex]

[tex]f''(0)=\lim_{x\to0+}\frac{e^x\frac{sin\ x}{x}+e^x\frac{cos\ x.x-sin\ x}{x^2}-1}{x}=\lim_{x\to0-}\frac{\sqrt[3]{1+x}+\frac{x}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}-1}{x}[/tex]

Пак прилагаме Лопитал колкото пъти е необходимо. Оказва се, че лявата и дясната граници за втората производна са равни помежду си, следователно втората производна съществува.

[tex]f''(0)=\frac{2}{3}[/tex]

[Гост]

Много благодаря за изчерпателното решение и отделеното време :)