Неопределен интеграл

[Гост]

Здравейте!
Моля за малко помощ за този интеграл. Благодаря предварително за отделеното време!
[tex]\int[/tex][tex]\frac{(x-1)(3+\sqrt{5+4x-x^{2}})}{5+4x-x^{2}}[/tex][tex]dx[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]5+4x-x^2=(5-x)(1+x)=t^2[/tex]

[tex]x^2-4x+t^2-5=0[/tex]

[tex]D_1=\left(\frac{-4}{2}\right)^2-1.(t^2-5)=9-t^2[/tex]

[tex]x_{1,2}=2\pm\sqrt{9-t^2}[/tex]

[tex]\int\frac{(x-1)(3+\sqrt{5+4x-x^2})}{5+4x-x^2}dx=\int\frac{(1\pm\sqrt{9-t^2})(3+t)}{t^2}\cdot\frac{\mp tdt}{\sqrt{9-t^2}}=[/tex]

[tex]=\mp 3\int\frac{dt}{t\sqrt{9-t^2}}\mp\int\frac{dt}{\sqrt{9-t^2}}-3\int\frac{dt}{t}-\int dt[/tex]

Първите два интеграла са от диференциални биноми, а вторите два са таблични.

[Добромир Глухаров]

За интеграла [tex]\int\frac{dt}{t\sqrt{9-t^2}}[/tex] се полага [tex]9-t^2=u^2[/tex] и се получава [tex]\int\frac{du}{9+u^2}=\frac{1}{3}arctg\left(\frac{u}{3}\right)+C=\frac{1}{3}arctg\left(\frac{\sqrt{9-(5+4x-x^2)}}{3}\right)+C[/tex]

За [tex]\int\frac{dt}{\sqrt{9-t^2}}[/tex] полагаме [tex]-1+9t^{-2}=u^2\Rightarrow \int\frac{dt}{\sqrt{9-t^2}}=-\int\frac{du}{1+u^2}=C-arctg(u)=C-arctg{\sqrt{\frac{9}{5+4x-x^2}-1}}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Сбъркал съм първия интеграл:

[tex]\int\frac{dt}{t\sqrt{9-t^2}}=\int\frac{du}{u^2-9}=\frac{1}{6}ln\left|\frac{u-3}{u+3}\right|+C=\frac{1}{6}ln\left|\frac{\sqrt{9-t^2}-3}{\sqrt{9-t^2}+3}\right|+C=\frac{1}{6}ln\left|\frac{\sqrt{9-(5+4x-x^2)}-3}{\sqrt{9-(5+4x-x^2)}+3}\right|+C=\frac{1}{6}ln\left|\frac{\sqrt{x^2-4x+4}-3}{\sqrt{x^2-4x+4}+3}\right|+C=\frac{1}{6}ln\left|\frac{(x-2)-3}{(x-2)+3}\right|+C=\frac{1}{6}ln\left|\frac{x-5}{x+1}\right|+C[/tex]

[Гост]

Големи благодарности за супер точния и бърз отговор :) Много се радвам, че се срещат хора като теб, които да отделят от времето си, за да са в полза на някой друг!

[Гост]

Помощ с 3 интеграла:

1) [tex]\int\frac{x}{\sqrt{2-x^{4}}}dx[/tex]
2)[tex]\int(cos(1-x))e^{3x}dx[/tex]
3)[tex]\int\frac{2x + 1}{x(x^{2} - 9)}dx[/tex]

Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

[tex]1)\ \int\frac{x}{\sqrt{2-x^4}}dx=\int x(2-x^4)^{-\frac{1}{2}}dx[/tex] - интеграл от диференциален бином.

Общ вид: [tex]\int x^m(a+bx^n)^{\frac{r}{s}}dx;\ m,n\in\mathbb{Q};\ r\in\mathbb{Z};\ s\in\mathbb{N}[/tex]

І-ви случай: [tex]s=1[/tex]
Интегралът е от вида [tex]\int R(x^{\frac{p_1}{q_1}},x^{\frac{p_2}{q_2}},x^{\frac{p_3}{q_3}},...,x^{\frac{p_l}{q_l}})dx;\ p_i\in\mathbb{Z};\ q_i\in\mathbb{N}[/tex]

Полагаме [tex]x=t^k;\ k=НОК(q_1,q_2,q_3,...,q_l)[/tex] и получаваме [tex]\int R(t^{\frac{kp_1}{q_1}},t^{\frac{kp_2}{q_2}},t^{\frac{kp_3}{q_3}},...,t^{\frac{kp_l}{q_l}}).k.t^{k-1}dt[/tex] - интеграл от рационална функция на [tex]t[/tex]

ІІ-ри случай:
[tex]\frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}[/tex]

Полагаме [tex]a+bx^n=t^s\Rightarrow x=\left(\frac{t^s-a}{b}\right)^{\frac{1}{n}};\ \frac{dx}{dt}=\frac{s}{n}\frac{(t^s-a)^{\frac{1}{n}-1}}{b^{\frac{1}{n}}}\cdot t^{s-1}[/tex]

[tex]\int x^m(a+bx^n)^{\frac{r}{s}}dx=\frac{s}{n}b^{-\frac{m+1}{n}}\int t^{r+s-1}(t^s-a)^{\frac{m+1}{n}-1}dt[/tex]

ІІІ-ти случай:
[tex]\frac{m+1}{n}+\frac{r}{s}\in\mathbb{Z}[/tex]

Полагаме [tex]\frac{a+bx^n}{x^n}=t^s[/tex]

Както е доказал Чебишов, ако конкретният интеграл не попада в нито един от трите случая, той е нерешим, т.е. не може да се изрази чрез краен брой елементарни функции.

Даденият интеграл в задача [tex]1)[/tex] попада в ІІІ-ти случай, понеже [tex]m=1;\ n=4;\ r=-1;\ s=2[/tex] и [tex]\frac{m+1}{n}+\frac{r}{s}=\frac{2}{4}-\frac{1}{2}=0\in\mathbb{Z}[/tex]

Полагаме [tex]\frac{2-x^4}{x^4}=t^2\Rightarrow 2x^{-4}-1=t^2;\ 2-x^4=x^4t^2[/tex]

[tex]x=\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^{-\frac{1}{4}};\ dx=-\frac{1}{4}\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^{-1\frac{1}{4}}\cdot tdt[/tex]

[tex]\int\frac{x}{\sqrt{2-x^4}}dx=\int x(x^4t^2)^{-\frac{1}{2}}(-\frac{1}{4})\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^{-1\frac{1}{4}}\cdot tdt=[/tex]

[tex]=-\frac{1}{4}\int x^{-1}\cancel{t^{-1}}\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^{-1\frac{1}{4}}\cancel tdt=[/tex]

[tex]=-\frac{1}{4}\int\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^{-1\frac{1}{4}}dt=[/tex]

[tex]=-\frac{1}{4}\cdot2^{1\frac{1}{4}}\cdot2^{-\frac{1}{4}}\cdot\int(1+t^2)^{-1}dt=[/tex]

[tex]=-\frac{2}{4}\cdot\int\frac{dt}{1+t^2}=-\frac{1}{2}arctg\ t+C=C-\frac{1}{2}arctg\left(\frac{\sqrt{2-x^4}}{x^2}\right)[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]2.)\ \int e^{3x}cos(1-x)dx=\frac{1}{3}\int cos(1-x)de^{3x}=\frac{1}{3}e^{3x}cos(1-x)-\frac{1}{3}\int e^{3x}dcos(1-x)=[/tex]

[tex]=\frac{1}{3}e^{3x}cos(1-x)-\frac{1}{3}\int e^{3x}sin(1-x)dx=\frac{1}{3}e^{3x}cos(1-x)-\frac{1}{9}\int sin(1-x)de^{3x}=[/tex]

[tex]=\frac{1}{3}e^{3x}cos(1-x)-\frac{1}{9}e^{3x}sin(1-x)-\frac{1}{9}\int e^{3x}cos(1-x)dx[/tex]

[tex]\left(1+\frac{1}{9}\right)\int e^{3x}cos(1-x)dx=\frac{1}{3}e^{3x}cos(1-x)-\frac{1}{9}e^{3x}sin(1-x)[/tex]

[tex]\int e^{3x}cos(1-x)dx=\frac{3}{10}e^{3x}cos(1-x)-\frac{1}{10}e^{3x}sin(1-x)[/tex]

[Добромир Глухаров]

3.) Разлагаме подинтегралната функция на елементарни дроби:

[tex]\frac{2x+1}{(x-3)x(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+3}[/tex]

[tex]2x+1=Ax(x+3)+B(x-3)(x+3)+C(x-3)x[/tex]

[tex]x=0\to 1=-9B\Rightarrow B=-\frac{1}{9}[/tex]
[tex]x=-3\to -5=18C\Rightarrow C=-\frac{5}{18}[/tex]
[tex]x=3\to 7=18A\Rightarrow A=\frac{7}{18}[/tex]

[tex]\int\frac{2x+1}{x(x^2-9)}dx=\frac{7}{18}\int\frac{dx}{x-3}-\frac{1}{9}\int\frac{dx}{x}-\frac{5}{18}\int\frac{dx}{x+3}=[/tex]

[tex]=\frac{7}{18}ln|x-3|-\frac{1}{9}ln|x|-\frac{5}{18}ln|x+3|+C[/tex]

[Гост]

Благодаря МНОГО за бързия отговор и подробното решение.