Абсолютна и условна сходимост

[Гост]

Моля за последните 2 подточки от последната задача от домашната ми.Използваме Даламбер,Коши, Лайблиц и Рабе.Проблемът е, че само снимах и не съм разбрал явно нищо
[tex]\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}4^{n}(n!)^{2}}{(2n)!(n+1)}[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}arcsin\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{n^{2}+3n+5}[/tex]

[Добромир Глухаров]

И двата реда са алтернативни.

Първият: [tex]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n[/tex]

[tex]u_n=\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!(n+1)}[/tex]

[tex]\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{4^{n+1}((n+1)!)^2}{(2n+2)!(n+2)}}{\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!(n+1)}}=\frac{4(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\cdot\frac{n+1}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{(n+\frac{1}{2})(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2,5n+1}[/tex]

По критерия на Раабе: [tex]n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)=n\left(1-\frac{n^2+2n+1}{n^2+2,5n+1}\right)=n\cdot\frac{n^2+2,5n+1-n^2-2n-1}{n^2+2,5n+1}=\frac{0,5n^2}{n^2+2,5n+1}\to 0,5<1[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] Редът не е абсолютно сходящ.

[tex]u_n=\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!(n+1)}=\frac{(2^n.n!)^2}{(2n)!(n+1)}=\frac{(2.4.6.8...(2n))^2}{(1.2.3.4.5.6.7...(2n))(n+1)}=\frac{2.4.6.8...(2n)}{1.3.5.7...(2n-1)(n+1)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdots\frac{2n-2}{2n-1}\cdot\frac{2n}{n+1}=\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{2n-1}\right)\frac{2n}{n+1}[/tex]

Но редът [tex]\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots[/tex] като разновидност на хармоничния е разходящ, следователно редът-произведение [tex]\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)\cdots[/tex] има стойност [tex]0[/tex]

[tex]\Rightarrow \lim_{n\to\infty}u_n=0.2=0[/tex], следователно по критерия на Лайбниц даденият алтернативен (знакопроменлив) ред е условно сходящ.

[Добромир Глухаров]

Вторият ред също е сходящ по Лайбниц, тъй като е знакопроменлив (т.е. алтернативен) (общият член съдържа [tex](-1)^n[/tex]) и общият член клони към [tex]0[/tex].

[tex]\lim_{n\to\infty}\arcsin\frac{\sqrt{n^2+2}}{n^2+3n+5}=\arcsin\lim_{n\to\infty}\frac{n\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}}{n^2\left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)}=\arcsin\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\arcsin 0=0[/tex]

[Гост]

И трябва монотонно да намалява. За първия ред се вижда, ама за втория не е очевидно.