Кога интегралът е сходящ?

[Apocalyp5e]

За кои стойности на параметъра М интегралът е сходящ?

[tex]\int_0^1\frac{lnx}{(1-x^2)^M}dx[/tex]

[Apocalyp5e]

[tex]\int_0^1\frac{lnx}{(1-x^2)^M}dx=\int_a^1\frac{lnx}{(1-x^2)^M}dx-\int_a^0\frac{lnx}{(1-x^2)^M}dx[/tex]

Нали целта ни е да намерим такива p и q, че да съществуват границите

[tex]lim_{x\rightarrow1}\frac{lnx}{(1-x^2)^M}.(1-x)^p[/tex] и [tex]{lim}_{x\rightarrow0}\frac{lnx}{(1-x^2)^M}.x^q[/tex]

Първата граница при p = M-1 e:

[tex]lim_{x\rightarrow1}\frac{lnx}{(1-x)(1-x)^{M-1}(1+x)^M}.(1-x)^{M-1}=\frac1{2^M}[/tex]

За да е сходящ интегралът, трябва p = M-1<1 => M<2

Но какво да правя с втората граница ;(

[Apocalyp5e]

no one? Me very sad...

[veliko]

Мисля че в 0 НЯМА особеност.

[Apocalyp5e]

А как да докажа, че няма особеност?

[veliko]

Понеже [tex]1-x^{2} ->1[/tex] при x->0 интегралът е сходящ едновременно с интегралът [tex]\int_{0}^{a}ln(x),0<a<1[/tex].
Но [tex]\int_{0}^{a}ln(x)dx=alna-\lim_{x\to\0}xlnx +\int_{0}^{a}xdln(x)=alna+a +0![/tex]

[Apocalyp5e]

Благодаря много