Задача от изпит

[burgas63]

Докажете, че параболата y=[tex]\frac{x^2}{2e}[/tex] се допира до кривата y=ln x и намерете допирната точка. Изразете графически ситуацията.

[Гост]

Допирната точка е с координати $(\sqrt{e},\frac{1}{2}).$

[burgas63]

Как се доказва ?

[Гост]

трудно.

[burgas63]

Сподели доказателството ако може.

[kmitov]

$f(x)=\frac{x^2}{2e}-\ln x$ има ДМ $(0,\infty)$. Вижда се, че $f(\sqrt{e})=0$, т.е. точката с координати $(\sqrt{e},\frac{1}{2})$ е обща за двете криви.

По-нататък $ f'(x)=\frac{x}{e}-\frac{1}{x}=\frac{x^2-e}{x}. $ Вижда се, че $f'(\sqrt{e})=0$, $ f'(x)<0 $ за $ x \in (0,\sqrt{e}) $ и $f'(x)>0$ за $x \in (\sqrt{e},\infty)$. Следователно това е единствената обща точка и в нея допирателните към двете криви имат един и същи ъглов коефициент. Те се допират в тази точка.