Изследване на функция

[revenge231]

Здравейте, имам курсова задача, да изследвам и да направя графика на функция.
Ще съм благодарен, ако някой има подобна решена или може да ми помогне. Благодаря!

12655966_562276623925711_1361270917_o.jpg (176.77 KiB) Прегледано 355 пъти

[Гост]

[tex]f (x) = \frac {66 - x^3 } { x^2-9 }[/tex]
Намира се първа производна
[tex]f'(x) =\frac {(66-x^3)'(x^2 - 9)-(x^2 - 9)'(66-x^3)} {(x^2 - 9)^2}=[/tex]
[tex]=\frac {-2x^2 (x^2-9)-2x(66-x^3)} {(x^2 - 9)^2} =[/tex]
[tex]=\frac {-2x( \cancel {x^3} -9x+66 \cancel{ -x^3}) } {(x^2 - 9)^2}[/tex]
[tex]f'(x) = \frac {6x(3x-22) } {(x^2 - 9)^2}[/tex]
Трябва да се намерят нулите на първата производна.
[tex]f'(x) =0 \Leftrightarrow 6x(3x-22) =0[/tex]
[tex]x_1=0 ; x_2 = \frac {22}{3}[/tex]
ДМ на функцията: [tex]x^2-9≠0 \Leftrightarrow x≠ ±3[/tex]
Характерни точки са точките, получени при пресичане на осите на координатната система с графиката на функцията.
При [tex]x=0 \Rightarrow y= - \frac {22}{3} \rightarrow \fbox { A (0; - \frac {22}{3} )}[/tex]
При [tex]y=0 \Rightarrow x= \sqrt[3]{66 } \rightarrow \fbox { B ( \sqrt[3]{66 } ; 0)}[/tex]
Нататък не се сещам какво се прави. Някой да допълни

[Knowledge Greedy]

Графиката най-долу показва грешка при намирането на първата производна. Числителят ѝ е равен на [tex]-x(x^3-27x+132)[/tex] и докато единият корен - отговарящ за локалния максимум е наистина [tex]x_1=0[/tex], то другият е [tex]x_2\approx -6,8104[/tex]. Локалният минимум, който се получава при този корен е [tex]\approx 10,216[/tex].
Необходимо е още да се намери втората производна [tex]f''(x)[/tex].
Корените на уравнението [tex]f''(x)=0[/tex] ни дават инфлексните точки, а решенията на неравенствата [tex]f''(x)>0[/tex] и [tex]f''(x)<0[/tex] ни дават интервалите съответно на изпъкналост и на вдлъбнатост на функцията.
По-нататък определяме асимтотите на
[tex]f(x)=\frac{66-x^3}{x^2-9}[/tex]
Вертикалните са с уравнения [tex]x=3[/tex] и [tex]x=-3[/tex] (сравни с дефиниционното множество)
Наклонената - с уравнение [tex]y=kx+m[/tex]
намираме с граници
[tex]k=\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=-1[/tex]
[tex]m=\lim_{x \to \infty}[f(x)-kx]=0[/tex]
Наклонената асимптота е с уравнение [tex]y=-x[/tex]
Резултатите се подреждат в таблица и се чертае графика.

Eдна рационална функция.png (13.23 KiB) Прегледано 334 пъти

Ето още две графики - друг графопостроител с по-дребен мащаб и още по-дребен мащаб.

[mail_dinko]

[tex]f (x) = \frac {66 - x^3 } { x^2-9 }[/tex]
Намира се първа производна
[tex]f'(x) =\frac {(66-x^3)'(x^2 - 9)-(x^2 - 9)'(66-x^3)} {(x^2 - 9)^2}=[/tex]
[tex]=\frac {-2x^2 (x^2-9)-2x(66-x^3)} {(x^2 - 9)^2} =[/tex]
[tex]=\frac {-2x( \cancel {x^3} -9x+66 \cancel{ -x^3}) } {(x^2 - 9)^2}[/tex]
[tex]f'(x) = \frac {6x(3x-22) } {(x^2 - 9)^2}[/tex]
Трябва да се намерят нулите на първата производна.
[tex]f'(x) =0 \Leftrightarrow 6x(3x-22) =0[/tex]
[tex]x_1=0 ; x_2 = \frac {22}{3}[/tex]
ДМ на функцията: [tex]x^2-9≠0 \Leftrightarrow x≠ ±3[/tex]
Характерни точки са точките, получени при пресичане на осите на координатната система с графиката на функцията.
При [tex]x=0 \Rightarrow y= - \frac {22}{3} \rightarrow \fbox { A (0; - \frac {22}{3} )}[/tex]
При [tex]y=0 \Rightarrow x= \sqrt[3]{66 } \rightarrow \fbox { B ( \sqrt[3]{66 } ; 0)}[/tex]
Нататък не се сещам какво се прави. Някой да допълни

Понеже на публикацията ми пише гост, да попитам: системата автоматично ли ни отписва след определен период престой в сайта.

[Knowledge Greedy]

...
Понеже на публикацията ми пише гост, да попитам: системата автоматично ли ни отписва след определен период престой в сайта.

Да, има определен брой минути, които като пресрочиш - се считаш за излязъл. Но най-добре да каже модераторът.