Определен и Неопределен интеграл

[Гост]

Здравейте!

Предстои ми изпит по Математика, обаче изпитвам известни затруднения с решаването на две задачи. Ще съм ви изключително благодарен, ако ми обясните подробно(или пък не ) как се решават.

1) [tex]\int(1-cotg3x)^2[/tex]

2) [tex]\int\limits_{-1}^{1}\frac{1}{(x^2+2x+3)}[/tex]

[Добромир Глухаров]

По втората задача: Дискриминантата на $x^2+2x+3$ е отрицателна, следователно при интегрирането трябва да получим аркустангенс.

$x^2+2x+3=(x+1)^2+2=\left[\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2+1\right].2$

$\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2+2x+3}=\int_{-1}^1\frac{\sqrt{2}d\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)}{2.\left[\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2+1\right]}=\frac{\sqrt{2}}{2}arctg{\frac{x+1}{\sqrt{2}}}\begin{array}{|r}1\\-1\end{array}=$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(arctg{\frac{1+1}{\sqrt{2}}}-arctg{\frac{-1+1}{\sqrt{2}}}\right)=\frac{arctg{\sqrt{2}}-arctg0}{\sqrt{2}}=\frac{arctg{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$

[KOPMOPAH]

Ще се опитам да помогна по първия интеграл (връщайки се в студентските години), не претендирам за изчерпателност и оригиналност, решавам по най-логичния начин

[tex]\int(1-cotg3x)^2dx=\int(1-2cotg3x+cotg^23x)dx=\int1dx-\int2cotg3xdx+\int cotg^23xdx=\\=x+2\int\frac{cos3x}{sin3x}dx-(\frac{1}{3}cotg3x+\int1dx)=x+\frac{2}{3}\int\frac{1}{sin3x}d(sin3x)-\frac{1}{3}cotg3x-x=\\= \cancel {x} + \frac{2}{3}ln|sin3x|+\frac{1}{3}cotg3x-\cancel{x}+C[/tex]

[Гост]

Благодаря ви много, отзивчиви хора! Спасявате ми кожата.