Граници

[gab4eto_pz11]

Някой да може да реши тези задачи?

[gab4eto_pz11]

или поне една-две, или пък насоки какво да направя

[Nathi123]

1. зад. се използва,че [tex]\lim_{n \to \infty}( 1 + \frac{1}{n})^{n}=e ; \lim_{n \to \infty}( 1 + \frac{k}{n})^{n}=e^{k}, k\in Z;[/tex]
[tex]n^{2} - 5n +4 = ( n-1 )( n -4 ) ; n^{2} + 5n +4 = ( n+1 )( n +4 ) \Rightarrow A= \lim_{n \to \infty}\frac{ n^{2} - 5n +4}{ n^{2} + 5n +4 } = \lim_{n \to \infty}\frac{(\frac{n-1}{n})^{n}(\frac{n-4}{n})^{n}}{(\frac{n+1}{n})^{n}(\frac{n+4}{n})^{n}}\Rightarrow A = \frac{e^{-1}.e^{-4}}{e.e^{4}}=e^{-10}.[/tex]

[Nathi123]

2.зад. [tex]B = \lim_{x \to -2}\frac{\sqrt{x^{3}-x+16}-\sqrt{8 - x}}{x^{2}+8x+12} = \lim_{x \to -2} \frac{x^{3}-x+16-8+x}{(x+2)(x+6)(\sqrt{x^{3}-x+16}+\sqrt{8 - x})}\Rightarrow[/tex]
[tex]B=\lim_{x \to -2} \frac{x^{3}+8}{2\sqrt{10}(x+2)(x+6)}=\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^{2}-2x+4)}{2\sqrt{10}(x+2)(x+6)}=\lim_{x \to -2} \frac{x^{2}-2x+4}{2\sqrt{10}(x+6)}=\frac{3\sqrt{10}}{20}.[/tex]

[Nathi123]

В 1. зад. Условието е А = [tex]\lim_{n \to \infty}(\frac{n^{2}-5n+4}{n^{2}+5n+4})^{n}[/tex]

[gab4eto_pz11]

а за по-долните, те са трудните

[Nathi123]

6. зад.[tex]\lim_{n \to \infty}(arctg\frac{1}{2} + arctg\frac{1}{8} +...+ arctg\frac{1}{2n^{2}})=\lim_{n \to \infty}arctg\frac{n}{n+1}=arctg\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}=arctg1=\frac{\pi}{4}[/tex].
В решението се използва ,че [tex]arctg\frac{1}{2} + arctg\frac{1}{8} +...+ arctg\frac{1}{2n^{2}} = arctg\frac{n}{n+1}[/tex] ( може да се докаже по индукция);
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1} =\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})} = 1[/tex] и непрекъснатост на y=arctgx.

[Nathi123]

4.зад. [tex]\lim_{x \to 0}\frac{ln(cosx+sin^{2}x)}{x^{2}}= \lim_{x \to 0}x \frac{-sinx+2sinxcosx}{2x(cosx+sin^{2}x)} =\lim_{x \to 0}\frac{-cosx+2cos2x}{2cosx+2sinx^{2}x+2x(-sinx)+4xsinxcosx} =\frac{1}{2}[/tex] . Използваме Т на Лопитал 2 пъти ; [tex]2sinxcosx=sin2x ; \lim_{x \to 0}cosx=1;\lim_{x \to 0}sinx=0[/tex].

[Гост]

5 зад.
[tex]\lim_{x \to 0}{\frac{1-cosx . cos2x . ... . cosnx}{x^2}} =[/tex]

[tex]=[/tex][tex]\lim_{x \to 0}{
\frac{-[-sinx.cos2x....cosnx + cosx . (-2sin2x) . cos3x...cosnx + cosx.cos2x.(-3sin3x).cos4x...cosnx + .... + cosx.cos2x...cos(n-1)x.(-nsin(nx))]}{2x}}[/tex]


[tex]=[/tex][tex]\frac{1}{2}[\lim_{x \to 0}({\frac{sinx}{x}.{cos2x...cosnx}}) + \lim_{x \to 0}({\frac{2.2.sin2x}{2x}.{cosx.cos3x...cosnx}})+\lim_{x \to 0}({\frac{3.3.sin3x}{3x}.{cosxcos2x...cosnx}})+...+\lim_{x \to 0}({\frac{n^2 . sin(nx)}{nx}.{cosx.cos2x...cos(n-1)x}})]=[/tex]


[tex]=[/tex][tex]\frac{1}{2}[1.cos0.cos0...cos0 + 2^2.1.cos0.cos0...cos0 + 3^2.1.cos0.cos0...cos0+...+n^2.1.cos0.cos0..cos0]=[/tex]

[tex]=[/tex][tex]\frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{2}=\frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}[/tex]
(приложихме последователно:

1) правилото на Лопитал за неопеделеността [tex][\frac{0}{0}][/tex],

2) правилото за диференциране на произведение [tex](f_1f_2...f_n)'=(f_1)'f_2...f_n+f_1(f_2)'f_3...f_n+f_1f_2(f_3)'f_4...f_n+...+f_1f_2...f_{n-1}(f_n)'[/tex],

3) [tex]\lim_{x \to 0}{\frac{sin(kx)}{kx}}=1 (k \ne 0)[/tex],

4) [tex]\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex])

Сега имаме [tex]\lim_{n \to +\infty}{\frac{1}{n^3}.\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}[/tex]

(тук приложихме, че [tex]\lim_{n \to +\infty}{\frac{а_0.n^k + a_1.n^{k-1}+a_2.n^{k-2}+...+a_k.n^0}{b_0.n^k + b_1.n^{k-1}+b_2.n^{k-2}+...+b_k.n^0}}=\frac{a_0}{b_0}[/tex] за [tex]a_0 \ne 0, b_0 \ne 0, k \in Z^+[/tex])

[someone]

7 зад.
[tex]\lim_{x\to 0}{\frac{(1+x^3)^{x^2}-1}{x^5}}=\lim_{x \to 0}{\frac{e^{ln[(1+x^3)^{x^2}]}-1}{x^5}}=\lim_{x \to 0}{\frac{e^{x^2ln(1+x^3)}.(x^2. ln(1+x^3))'}{5x^4}}=[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 0}{\frac{e^{x^2ln(1+x^3)}[2x.ln(1+x^3)+\frac{1}{1+x^3}.3x^2.x^2]}{5x^4}}=[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 0}{e^{x^2ln(1+x^3)}}[\frac{2}{5}\lim_{x \to 0}{\frac{ln(1+x^3)}{x^3}}+\frac{3}{5}\lim_{x \to 0}{\frac{1}{1+x^3}}]=[/tex]

[tex]=e^{0.ln(1+0)} [\frac{2}{5}.1+\frac{3}{5}.\frac{1}{1+0}]=e^0.1=1[/tex]

(приложихме правилото на Лопитал за неопределеността 0/0, както и осн. граница [tex]\lim_{y\to 0}{\frac{ln(1+y)}{y}}=1[/tex], останалото е непосредствено заместване)