Пресметнете границата на функцията

[Гост]

Пресметнете границата на функцията

[Гост]

С едно логаритмуване, Лопитал, основната граница [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}[/tex] и отново потенциране
отговорът става [tex]e^{-\frac{1}{4}}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Нека означим [tex]L= \lim_{x \to 0} \left ( \frac{sinx}{x} \right )^{\frac{1}{x^2}}[/tex]
Представяме
[tex]\lim_{x \to 0}\left [ 1+ \left ( \frac{sinx}{x} -1 \right ) \right ]^{\frac{1}{x^2}}[/tex]
и още
[tex]\lim_{x \to 0}\left [ 1+ \left ( \frac{sinx}{x} -1 \right ) \right ]^{\frac{1}{ \frac{sinx}{x} -1}. \left ( \frac{sinx}{x} -1 \right ).\frac{1}{x^2} }[/tex]
с цел да намесим основната граница [tex]e[/tex].

Логаритмуваме и част от степенния показател изнасяме като множител
[tex]\left ( \frac{sinx}{x} -1 \right ).\frac{1}{x^2}ln \left [ 1+ \left ( \frac{sinx}{x} -1 \right ) \right ]^{\frac{1}{ \frac{sinx}{x} -1}}[/tex]
Получаваме две граници
[tex]L_1= \lim_{x \to 0} \left ( \frac{sinx}{x} -1 \right ).\frac{1}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{sinx-x}{x^3}=\lim_{x \to 0}\frac{cosx-1}{3x^2}=-\frac{1}{3}\lim_{x \to 0}\frac{2sin^2 \frac{x}{2}}{4 \left ( \frac{x}{2} \right )^2 }=-\frac{1}{6}[/tex]
като тук използвахме правилото на Лопитал и основната граница [tex]\lim_{\varphi \to 0} \frac{sin \varphi}{\varphi} =1[/tex]
и
[tex]L_2= \lim_{x \to 0}\left [ 1+ \left ( \frac{sinx}{x} -1 \right ) \right ]^{\frac{1}{ \frac{sinx}{x} -1}}=e[/tex]

Явно [tex]L=L_2^{L_1}=e^{-\frac{1}{6}}[/tex]