Граници

[west234]

Здравейте. Имам нужда от малко помощ с тази задача решавах я дълго време и все нищо не излиза.

[tex]\lim_{x \to 0}(1/x)*(cothx - cotgx)[/tex]

[Добромир Глухаров]

$cothx=\frac{chx}{shx};\ cotgx=\frac{cosx}{sinx}$

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left(\frac{chx}{shx}-\frac{cosx}{sinx}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{sinx.chx-shx.cosx}{x.shx.sinx}=\{\frac{0}{0}\}$

Прилагаме трикратно Правилото на Лопитал, като всеки път след прилагането съкращаваме противоположните събираеми и групираме както в числител, така и в знаменател. Получаваме:

$\lim_{x\to 0}\frac{chx.cosx-\cancel{shx.sinx}+cosx.chx+\cancel{sinx.shx}}{\cancel{shx.sinx}+chx.cosx+cosx.chx-\cancel{sinx.shx}+chx.cosx+x(shx.cosx-chx.sinx)}$

Заместваме директно х с 0 и получаваме: $\frac{1.1+1.1}{1.1+1.1+1.1+0.(0.1+1.0)}=\frac{2}{3}$

[Гост]

Можете ли да ми опишете производната на знаменателя ?

[Добромир Глухаров]

Можете ли да ми опишете производната на знаменателя ?

$(x.shx.sinx)'=(x)'.shx.sinx+x.(shx)'.sinx+x.shx.(sinx)'=\\=shx.sinx+x.chx.sinx+x.shx.cosx$

$(x.shx.sinx)''=(shx.sinx)'+(x.chx.sinx)'+(x.shx.cosx)'=\\=(shx)'.sinx+shx.(sinx)'+(x)'.chx.sinx+x.(chx)'.sinx+x.chx.(sinx)'+(x)'.shx.cosx+x.(shx)'.cosx+x.shx.(cosx)'=\\=chx.sinx+shx.cosx+chx.sinx+\cancel{x.shx.sinx}+x.chx.cosx+shx.cosx+x.chx.cosx-\cancel{x.shx.sinx}=\\=2chx.sinx+2.shx.cosx+2x.chx.cosx$

$(x.shx.sinx)'''=2(chx.sinx)'+2(shx.cosx)'+2(x.chx.cosx)'=\\=\cancel{2shx.sinx}+2chx.cosx+2chx.cosx-\cancel{2shx.sinx}+2chx.cosx+2x.shx.cosx-2x.chx.sinx=\\=6chx.cosx+2x.shx.cosx-2x.chx.sinx=2.(3chx.cosx+x.shx.cosx-x.chx.sinx)$

Забележка: В числител също се получава общ множител 2-ка, който се съкращава с двойката в знаменателя.

[pipi langstrump]

Имаме

[tex]\frac{1}{x} \left(\frac{\cosh x}{\sinh x} - \frac{\cos x}{\sin x}\right) = \frac{1}{x. \sin x. \sinh x} (\cosh x .\sin x - \sinh x. \cos x )[/tex]

Понеже sinx/x и sinhx/x клонят към 1 при х клонящо към нула, границата става

$\frac{1}{x^3} (\cosh x .\sin x - \sinh x. \cos x)$

Сега прилагаме Лопитал само един път, горе става $2\sin x.\sinh x$, долу става $3x^2$, което дава $\frac{2}{3}$

[west234]

Благодаря Ви сам си я реших с ваша помощ и я разбрах и излезе бая дълга