Мат Анализ

[Гост]

Помощ с тези задачки, благодаря
1. Да се намерят асимптотите на функцията:
ch[tex]x^{2}^{[tex]\frac{-1}{\sqrt[2]{x}}[/tex]}[/tex]

2. Да се намерят локалните екстремуми:
y=x+ln(cosx)

3. Да се намери обема V на тяло от ротация на графиката на y=[tex]\sqrt{x+1}[/tex]sinx , x[tex]\in[/tex][0;[tex]\pi[/tex]

[Гост]

Много смахнато изглежда тази функция
А дали не си имал предвид тази:
1. Да се намерят асимптотите на функцията:
[tex]ch^{2}x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}[/tex]
или тази:
1. Да се намерят асимптотите на функцията:
[tex]ch{2x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}}[/tex]
или нещо друго

[Гост]

Много смахнато изглежда тази функция
А дали не си имал предвид тази:
1. Да се намерят асимптотите на функцията:
[tex]ch^{2}x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}[/tex]
или тази:
1. Да се намерят асимптотите на функцията:
[tex]ch{2x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}}[/tex]
или нещо друго

ch[tex]x^{2}^{\frac{-1}{\sqrt{x}}}[/tex] сега дали се получи

[Гост]

Много смахнато изглежда тази функция
А дали не си имал предвид тази:
1. Да се намерят асимптотите на функцията:
[tex]ch^{2}x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}[/tex]
или тази:
1. Да се намерят асимптотите на функцията:
[tex]ch{2x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}}[/tex]
или нещо друго

ch[tex]x^{2}^{\frac{-1}{\sqrt{x}}}[/tex] сега дали се получи

[tex]ch x^{2}[/tex] и това [tex]x^{2}[/tex] на степен
[tex]\frac{-1}[/tex]{\sqrt{x}}
Надявам се че ме разбрахте

[Добромир Глухаров]

$y=ch\left((x^2)^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)$

$Допустими\ стойности\ (Дефиниционно\ множество):\ x\in(0;+\infty)$

$\lim_{x\to0+}y=\lim_{x\to0+}ch\left(x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)^2=ch\left(\lim_{x\to0+}x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)^2$

$z=x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}};\ lnz=-\frac{1}{\sqrt{x}}lnx$

$\lim_{x\to0+}lnz=-\lim_{x\to0+}\frac{lnx}{\sqrt{x}}\left(\frac{-\infty}{+0}\right)=-(-\infty)=+\infty$

$\lim_{x\to0+}z=\lim_{lnz\to+\infty}e^{lnz}=+\infty$

$\Rightarrow\lim_{x\to0+}y=\lim_{z\to+\infty}ch(z^2)=+\infty$

$\Rightarrow Oy-вертикална\ асимптота$

$\lim_{x\to+\infty}y=ch\left(\lim_{x\to+\infty}x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)^2=?$

$z=x^{-\frac{1}{\sqrt{x}}};\ lnz=-\frac{1}{\sqrt{x}}lnx$

$\lim_{x\to+\infty}(lnz)=-\lim_{x\to+\infty}\frac{lnx}{\sqrt{x}}\left(\frac{+\infty}{+\infty}\right)(Лопитал)=-\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=-\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=-0=0$

$\Rightarrow\lim_{x\to+\infty}z=e^0=1$

$\Rightarrow\lim_{x\to+\infty}y=ch(1^2)=ch1$

$\Rightarrow y=ch1\ -\ хоризонтална\ асимптота$

[Добромир Глухаров]

$y=x+ln(cosx)$

$D.C.:\ cosx>0\Rightarrow x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$

$y'=1+\frac{(cosx)'}{cosx}=1+\frac{-sinx}{cosx}=1-tgx=0$

$tgx=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+l\pi$

$x\in D.C.\Rightarrow l=2m$

$x=\frac{\pi}{4}+2m\pi$

$y''=-\frac{1}{cos^2x}<0\Rightarrow y_{x=\frac{\pi}{4}+2m\pi}=\frac{\pi}{4}+2m\pi+ln\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}+2m\pi-\frac{1}{2}ln2\ -\ Локални\ максимуми$

[Добромир Глухаров]

$V=\pi\int_0^{\pi}y^2dx=\pi\int_0^{\pi}(x+1)sin^2xdx=\pi\int_0^{\pi}(x+1)\frac{1-cos2x}{2}dx=\\=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}(x+1)dx-\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}(x+1)cos2xdx=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{(x+1)^2}{2}|_0^{\pi}-\frac{\pi}{4}\int_0^{\pi}(x+1)dsin2x=\\=\frac{\pi}{4}((\pi+1)^2-1)-\frac{\pi}{4}(x+1)sin2x|_0^{\pi}+\frac{\pi}{4}\int_0^{\pi}sin2xd(x+1)=\\=\frac{\pi}{4}(\pi^2+2\pi)-0+\frac{\pi}{8}\int_0^{\pi}sin2xd(2x)=\frac{\pi^2}{4}(\pi+2)-\frac{\pi}{8}\cdot cos2x|_0^{\pi}=\\=\frac{\pi^2}{4}(\pi+2)-\frac{\pi}{8}\cdot(1-1)=\frac{\pi^2}{4}(\pi+2)$

[Гост]

$y=x+ln(cosx)$

$D.C.:\ cosx>0\Rightarrow x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$

$y'=1+\frac{(cosx)'}{cosx}=1+\frac{-sinx}{cosx}=1-tgx=0$

$tgx=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+l\pi$

$x\in D.C.\Rightarrow l=2m$

$x=\frac{\pi}{4}+2m\pi$

$y''=-\frac{1}{cos^2x}<0\Rightarrow y_{x=\frac{\pi}{4}+2m\pi}=\frac{\pi}{4}+2m\pi+ln\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}+2m\pi-\frac{1}{2}ln2\ -\ Локални\ максимуми$

Може ли да ми обясните това в края на задачата, след tgx=1 как се получава .

[Добромир Глухаров]

Решенията на $tgx=1$ са $x=\frac{\pi}{4};x=\frac{\pi}{4}+\pi;x=\frac{\pi}{4}+2\pi;x=\frac{\pi}{4}+3\pi$ и т.н., а също и $x=\frac{\pi}{4}-\pi;x=\frac{\pi}{4}-2\pi;x=\frac{\pi}{4}-3\pi$ и т.н.

$x$ обаче трябва да бъде между $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$, или между $-\frac{\pi}{2}+2\pi$ и $\frac{\pi}{2}+2\pi$ и т.н., за да бъде $cosx>0$. Значи $x=\frac{\pi}{4}$ или $x=\frac{\pi}{4}+2\pi$ или $x=\frac{\pi}{4}-2\pi$ или $x=\frac{\pi}{4}+4\pi$ или $x=\frac{\pi}{4}-4\pi$ и т.н. Последното се записва кратко така: $x=\frac{\pi}{4}+2m\pi;\ m\in\mathbb{Z}$ ($m$ е цяло число).

[Добромир Глухаров]

А последният ред се тълкува така: Знаем, че $y'=1-tgx\Rightarrow y''=(y')'=(1-tgx)'=0-\frac{1}{cos^2x}$. $cos^2x>0\forall x,\ различно\ от\ \frac{\pi}{2}+кратно\ на\ \pi \Rightarrow y''<0$. Знаем, че ако за някое $x$ $y'=0$ и $y''<0$, то за това $x$ $y$ съответно има локален максимум. Остава да намерим съответните стойности на $y$.

$x=\frac{\pi}{4}+2m\pi\Rightarrow cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=x+lncosx=\frac{\pi}{4}+2m\pi+ln{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\\=\frac{\pi}{4}+2m\pi+ln{2^{\frac{1}{2}-1}}=\frac{\pi}{4}+2m\pi+ln{2^{-\frac{1}{2}}}=\frac{\pi}{4}+2m\pi-\frac{1}{2}ln2$

[Гост]

А последният ред се тълкува така: Знаем, че $y'=1-tgx\Rightarrow y''=(y')'=(1-tgx)'=0-\frac{1}{cos^2x}$. $cos^2x>0\forall x,\ различно\ от\ \frac{\pi}{2}+кратно\ на\ \pi \Rightarrow y''<0$. Знаем, че ако за някое $x$ $y'=0$ и $y''<0$, то за това $x$ $y$ съответно има локален максимум. Остава да намерим съответните стойности на $y$.

$x=\frac{\pi}{4}+2m\pi\Rightarrow cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=x+lncosx=\frac{\pi}{4}+2m\pi+ln{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\\=\frac{\pi}{4}+2m\pi+ln{2^{\frac{1}{2}-1}}=\frac{\pi}{4}+2m\pi+ln{2^{-\frac{1}{2}}}=\frac{\pi}{4}+2m\pi-\frac{1}{2}ln2$

Изключително много благодаря