Теоретични задачи

[Гост]

1.Да се докаже че: arctgx + arccotgx=[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] , x[tex]\in[/tex]R

2. С теоремата на Лагранж да се докажат неравенствата:
[tex]\frac{b-a}{b}<ln\frac{b}{a}<\frac{b-a}{a}[/tex]

3. С теоремата за средните стойности пре интеграли да се докажат неравенствата:
[tex]\frac{\pi}{2}\le\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}е^{cosx}dx\le\frac{\pi}{2}e[/tex]

[Добромир Глухаров]

1.) $f(x)=arctgx+arccotgx;\ f'(x)=(arctgx)'_x+(arccotgx)'_x=\frac{1}{1+x^2}+\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)=0\Rightarrow f(x)=const$

$f(0)=arctg0+arccotg0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow f(x)=\frac{\pi}{2}\forall x$

2.) $f(x)=lnx;\ f'(x)=\frac{1}{x};\ Теорема\ на\ Лагранж \left(f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0(a<b)\right)\Rightarrow f'(b)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f'(a)\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{lnb-lna}{b-a}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{b-a}{b}<ln{\frac{b}{a}}<\frac{b-a}{a}$

3.) $f(x)=e^{cosx};\ f(0)=e^{cos0}=e^1=e;\ f({\frac{\pi}{2}})=e^{cos{\frac{\pi}{2}}}=e^0=1$

$f'(x)=-sinxe^{cosx}<0,\ за\ x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)(f(x)-намаляваща)\Rightarrow Теорема\ за\ средните\ стойности\ при\ интеграли\Rightarrow \left(\frac{\pi}{2}-0\right)f\left(\frac{\pi}{2}\right)<\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx<\left(\frac{\pi}{2}-0\right)f(0)\Rightarrow \frac{\pi}{2}<\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{cosx}dx<\frac{\pi}{2}e$

[Гост]

Изключително много благодаря

[Гост]

1.) $f(x)=arctgx+arccotgx;\ f'(x)=(arctgx)'_x+(arccotgx)'_x=\frac{1}{1+x^2}+\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)=0\Rightarrow f(x)=const$

$f(0)=arctg0+arccotg0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow f(x)=\frac{\pi}{2}\forall x$

2.) $f(x)=lnx;\ f'(x)=\frac{1}{x};\ Теорема\ на\ Лагранж \left(f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0(a<b)\right)\Rightarrow f'(b)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f'(a)\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{lnb-lna}{b-a}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{b-a}{b}<ln{\frac{b}{a}}<\frac{b-a}{a}$

3.) $f(x)=e^{cosx};\ f(0)=e^{cos0}=e^1=e;\ f({\frac{\pi}{2}})=e^{cos{\frac{\pi}{2}}}=e^0=1$

$f'(x)=-sinxe^{cosx}<0,\ за\ x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)(f(x)-намаляваща)\Rightarrow Теорема\ за\ средните\ стойности\ при\ интеграли\Rightarrow \left(\frac{\pi}{2}-0\right)f\left(\frac{\pi}{2}\right)<\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx<\left(\frac{\pi}{2}-0\right)f(0)\Rightarrow \frac{\pi}{2}<\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{cosx}dx<\frac{\pi}{2}e$

Може ли да ми обясните това в скобите за теоремата на Лагранж

[Гост]

1.) $f(x)=arctgx+arccotgx;\ f'(x)=(arctgx)'_x+(arccotgx)'_x=\frac{1}{1+x^2}+\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)=0\Rightarrow f(x)=const$

$f(0)=arctg0+arccotg0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow f(x)=\frac{\pi}{2}\forall x$

2.) $f(x)=lnx;\ f'(x)=\frac{1}{x};\ Теорема\ на\ Лагранж \left(f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0(a<b)\right)\Rightarrow f'(b)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f'(a)\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{lnb-lna}{b-a}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{b-a}{b}<ln{\frac{b}{a}}<\frac{b-a}{a}$

3.) $f(x)=e^{cosx};\ f(0)=e^{cos0}=e^1=e;\ f({\frac{\pi}{2}})=e^{cos{\frac{\pi}{2}}}=e^0=1$

$f'(x)=-sinxe^{cosx}<0,\ за\ x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)(f(x)-намаляваща)\Rightarrow Теорема\ за\ средните\ стойности\ при\ интеграли\Rightarrow \left(\frac{\pi}{2}-0\right)f\left(\frac{\pi}{2}\right)<\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx<\left(\frac{\pi}{2}-0\right)f(0)\Rightarrow \frac{\pi}{2}<\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{cosx}dx<\frac{\pi}{2}e$

А можете ли да ми обясните заха х е в интервала от 0 до [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] и да ми разяснште как използвате теоремата за средните стойности, т.е в общ вид, че не ми е съвсем ясно

[Добромир Глухаров]

1.) $f(x)=arctgx+arccotgx;\ f'(x)=(arctgx)'_x+(arccotgx)'_x=\frac{1}{1+x^2}+\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)=0\Rightarrow f(x)=const$

$f(0)=arctg0+arccotg0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow f(x)=\frac{\pi}{2}\forall x$

2.) $f(x)=lnx;\ f'(x)=\frac{1}{x};\ Теорема\ на\ Лагранж \left(f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0(a<b)\right)\Rightarrow f'(b)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f'(a)\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{lnb-lna}{b-a}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{b-a}{b}<ln{\frac{b}{a}}<\frac{b-a}{a}$

3.) $f(x)=e^{cosx};\ f(0)=e^{cos0}=e^1=e;\ f({\frac{\pi}{2}})=e^{cos{\frac{\pi}{2}}}=e^0=1$

$f'(x)=-sinxe^{cosx}<0,\ за\ x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)(f(x)-намаляваща)\Rightarrow Теорема\ за\ средните\ стойности\ при\ интеграли\Rightarrow \left(\frac{\pi}{2}-0\right)f\left(\frac{\pi}{2}\right)<\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx<\left(\frac{\pi}{2}-0\right)f(0)\Rightarrow \frac{\pi}{2}<\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{cosx}dx<\frac{\pi}{2}e$

Може ли да ми обясните това в скобите за теоремата на Лагранж

Според Теоремата на Лагранж, ако $\exists f'(x)\forall x\in(a;b)$ и $f''(x)$ запазва знака си за $x\in(a;b)$ (В нашия случай - отрицателен) $f''(x)<0\Rightarrow f'(x)\ намалява\ \Rightarrow f'(a)>f'(b)\Rightarrow f'(b)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f'(a)$

[Добромир Глухаров]

1.) $f(x)=arctgx+arccotgx;\ f'(x)=(arctgx)'_x+(arccotgx)'_x=\frac{1}{1+x^2}+\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)=0\Rightarrow f(x)=const$

$f(0)=arctg0+arccotg0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow f(x)=\frac{\pi}{2}\forall x$

2.) $f(x)=lnx;\ f'(x)=\frac{1}{x};\ Теорема\ на\ Лагранж \left(f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0(a<b)\right)\Rightarrow f'(b)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f'(a)\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{lnb-lna}{b-a}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{b-a}{b}<ln{\frac{b}{a}}<\frac{b-a}{a}$

3.) $f(x)=e^{cosx};\ f(0)=e^{cos0}=e^1=e;\ f({\frac{\pi}{2}})=e^{cos{\frac{\pi}{2}}}=e^0=1$

$f'(x)=-sinxe^{cosx}<0,\ за\ x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)(f(x)-намаляваща)\Rightarrow Теорема\ за\ средните\ стойности\ при\ интеграли\Rightarrow \left(\frac{\pi}{2}-0\right)f\left(\frac{\pi}{2}\right)<\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx<\left(\frac{\pi}{2}-0\right)f(0)\Rightarrow \frac{\pi}{2}<\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{cosx}dx<\frac{\pi}{2}e$

А можете ли да ми обясните заха х е в интервала от 0 до [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] и да ми разяснште как използвате теоремата за средните стойности, т.е в общ вид, че не ми е съвсем ясно

Теорема за средните стойности:

Ако за $x\in(a;b),\ f'(x)$ запазва знака си

и

$1.)\ f'(x)<0\Rightarrow (b-a)f(b)<\int_a^b f(x)dx<(b-a)f(a)$

$2.)\ f'(x)>0\Rightarrow (b-a)f(a)<\int_a^b f(x)dx<(b-a)f(b)$