Доказателство, че функция има производна в точка

[R3try]

Може ли някой да ми каже как става това:
Да се докаже, че функцията:
f(x)=[tex]\begin{cases} \frac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x} \\ \frac{lnx^{2}(1-x)-2x+5}{25} \end{cases}[/tex]
има производна в точката a = 0;

[pipi langstrump]

Пропуснал си нещо.

[R3try]

Да първият клон е дефиниран при x > 0, а втория при x[tex]\le[/tex]0.

[R3try]

Да първият клон е дефиниран при x > 0, а втория при x[tex]\le[/tex]0. И долния клон е [tex]\frac{ln^{2}(1-x)-2x+5}{25}[/tex]

[pipi langstrump]

Ами давай...намери стойностите на лявата и дясната производни за 0 и ако се случат да са равни функцията е диференцируема е тая точка, а ако не са равни - не е.

[Knowledge Greedy]

Нещо пак не се получава да са равни
Лявата производна
[tex]f'_-(x)=-\frac{2}{25}\left (\frac{ln(1-x)}{1-x}+1 \right )[/tex]
[tex]f'_-(0)=-\frac{2}{25}[/tex]

Дясната производна
[tex]f'_+(x)=...[/tex]
и ...
[tex]\lim_{x \to 0+\epsilon}f'_+(x)\ne-\frac{2}{25}[/tex]
Следователно така дефинираната функция е недиференцируема в нулата.

[drago]

Ами давай...намери стойностите на лявата и дясната производни за 0 и ако се случат да са равни функцията е диференцируема е тая точка, а ако не са равни - не е.

Опс,... надявам се носиш на майтап, ама това само във Физическия факултет го учат така

[pipi langstrump]

Нося много, няма проблем с това
Кажи каква смешка съм написал.

[drago]

ok,
ами например функцията:
\[f(x)=\begin{cases}0 , x=0 \\
x^2\sin(x^{-2}) , x\neq 0
\end{cases}\]
е диференцируема в $x=0$, като производната там е $0$ (като се приложи дефиницията).
От друга страна и двете граници- отляво и отдясно $\lim_{x\to 0\pm 0} f'(x)$ не съществуват.

[pipi langstrump]

drago,
под дясна производна (в нулата, например) имам предвид това

$f_{+}'(0) = \lim_{x \to 0, x>0} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} $

а не това $ \lim_{x \to 0, x>0} f'(x)$

Не ги помня добре дефинициите, ако не е така се извинявам.

Това, което ти си дал като пример е, че производната може да я има в дадена точка, но да не е непрекъсната в нея, ясно е, че има и такива случаи, но аз нямах предвид това.

[pipi langstrump]

Сега като се загледах в опита за решение на greedy, той точно това, незнайно защо, доказва - че първата производна не е непрекъсната в нулата. Но това не пречи да си я има и функцията да е диференцируема в тая точка.

[pipi langstrump]

Дясната производна е ясна.
Лявата намираме с дефиницията за производна:

[tex]\lim_{x \to 0, x<0} \frac{\frac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x} -\frac{1}{5}}{x-0} = \lim_{x \to 0, x<0} \frac{\sqrt[5]{1+x}-1-\frac{x}{5}}{x^2} = -\frac{2}{25}[/tex]

Лявата и дясната производна в нулата са равни, значи функцията има производна в точката а = 0.

[drago]

@pipi langstrump: Извинявай, май не съм те разбрал правилно. Наистина, това по-долу на greedy смята точно така, което откъде-накъде? Или поне трябва да се обоснове. Имам предвид, че ако $f$ е диференцируема и$f'(x)$ клони отляво и отдясно на $a$ към една и съща граница, то $f'(a)$ съществува и е същото. Става с теоремата за крайните нараствания: http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 07p7512526
Обаче е възможно $f'(x)$ да няма гранца отляво и/или отдясно на $a$ и въпреки това $f'(a)$ да го има- примера по-горе.
Искам да кажа, че явно Greedy е сбъркал някъде в сметките.

[drago]

Сетих се нещо. Разбира се, въпреки, че $f'(x)$ съществува навсякъде, е възможно тя да НЕ е непрекъсната. Но това по-горе показва, че $f'(x)$ не може да е прекалено гнусно прекъсната, напр. не може $f'(x)$ да има различни лява и дясна граница в точка. Или въобще няма да има такива граници или лявата и дясната граница на $f'$ ще са равни на съответното $f'(a)$. Което кореспондира с една теорема на Дарбу, че пъравта производна има свойството да приема всички стойности между стойностите и в някакви две точки.https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux's ... _(analysis)
T.e. $f'(x)$ не може да е баш к'ва да е.

[pipi langstrump]

Сбъркал е в сметките, защото тоя начин с доказване на непрекъснатост на f' технически е по-труден. А и както показваш с примера, не винаги върши работа, пък и не е съвсем очевидно, че е коректен.

Като прочетох втория ти пост, се сетих за някои отдавна забравени неща. Първо, нямаше ли, от Фурие-анализа си го спомням, едни родове на прекъсване, прекъсване от първи род, от втори род...?
И друго, стана ми интересно, ако f' не може да е баш ква да е, кое е еднаквото/различното между нея и комклексния ѝ аналог, където знаем, че винаги е непрекъсната? Т.е., защо така става, че в реалния случай може да прекъсната по някакъв начин, пък в комплексния не може да е по тоя начин. Това май е доста сложен въпрос, де.

[drago]

За видовете прекъснатоси: https://en.wikipedia.org/wiki/Classific ... ntinuities

Ами за комплексните функции и аз съм се чудил защо е решил Господ така да бъде. Технически погледнато- доказва се, при това не трудно, май с интергралната теоремата на Коши за представянето ставаше и вкарване на на диференцирането вътре.
Ако ме питаш философски, моето си обяснение е следното. Да бъде една функция $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ диференцируема(холоморфна) е нещо много по-рестриктивано от това да е такава една ф-я в/у $\mathbb{R}$. Тя трябва да е има производни, при това равни по всички направления излизащи от някаква т. $z\in\mathbb{C}$. Явно това не е много лесно да се удовлетвори, но щом стане, то ф-ята вече е много хубава и всичките и производни са пак холоморфни.