Ограниченост и най-голяма стойност на функция в интервал

[R3try]

Може ли и това някой да каже как става?

Нека f(x) е непрекъсната в (-[tex]\infty[/tex], 0], [tex]\lim_{x \to -\infty}f(x) = L[/tex] и f(0) > L. Да се докаже, че:
а) f(x) е ограничена в (-[tex]\infty[/tex], 0];
б) f(x) има най-голяма стойност в (-[tex]\infty[/tex], 0];

[Knowledge Greedy]

а)
Дефиницията за непрекъснатост казва, че каквато и околност на [tex]L[/tex] да изберем [tex](L-\epsilon,L+\epsilon)[/tex], съществува (околност на [tex]-\infty[/tex]) [tex]x_0: \forall x<x_0 \,\ \Rightarrow \,\ L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon[/tex].
Да допуснем, че [tex]f(x)[/tex] е неограничена отдолу. Следователно [tex]\forall A[/tex], [tex]A=const[/tex], съществува [tex]x[/tex]: [tex]f(x)<A[/tex]
В дефиницията по-горе е казано: "за всяко [tex]A[/tex]"... . Това означава, че ако изберем [tex]A<L-\epsilon[/tex], ще получим противоречие [tex]f(x)<A<L-\epsilon<f(x)[/tex].
Противоречието се дължи на погрешното допускане за неограниченост.