Задача от ДИС1

[Гост]

Моля за малко помощ за следната задача:
Ако f(x) = x- (7+2x)/2 ln⁡((7+2x)/7) . Докажете, че -x^2≤f(x) ≤0 за всяко х ∈ ⌈-3 ;0⌉

[Davids]

Ползвай [tex]-формáта, за да си уформиш израза.

[Гост]

[tex]f(x)= х -((7+2x)/2)*(ln((7+2x)/7))[/tex]

[Добромир Глухаров]

$f(x)=x-\frac{7+2x}{2}\cdot ln\left(\frac{7+2x}{7}\right)$
$\varphi(x)=x^2+f(x)$

Трябва да докажем, че $f(x)\leq 0$ и $\varphi(x)\geq 0$ за $x\in[-3;0]$

$f(-3)=-3-\frac{1}{2}\cdot ln\frac{1}{7}=-3+\frac{1}{2}\cdot ln7<0$

$f(0)=0-\frac{7}{2}\cdot ln1=0$

$f'(x)=1-ln\left(1+\frac{2x}{7}\right)-\frac{7+2x}{2}\cdot\frac{\frac{2}{7}}{\frac{7+2x}{7}}=-ln\left(1+\frac{2x}{7}\right)$

за $x\in[-3;0)\Rightarrow f'(x)>0$; за $x=0\Rightarrow f'(x)=0$

$\Rightarrow f(x)$ - монотонна за $x\in[-3;0]$

$\Rightarrow f(x)\leq0$ за $x\in[-3;0]$

$\varphi(-3)=9+f(-3)=9-3+\frac{1}{2}ln7=6+\frac{1}{2}ln7>0$

$\varphi(0)=0+f(0)=0$

$\varphi'(x)=2x+f'(x)=2x-ln\left(1+\frac{2x}{7}\right)$

$\varphi'(0)=0$

$\varphi'(-3)=-6-ln\frac{1}{7}=-6+ln7<0$

$\varphi''(x)=2-\frac{\frac{2}{7}}{1+\frac{2x}{7}}=2-\frac{2}{7+2x}>0$ за $x\in(-3;0]$

$\Rightarrow \varphi'(x)$ - монотонно растяща,

$\Rightarrow \varphi'(x)<0$ за $x\in(-3;0)$

$\Rightarrow \varphi(x)$ - монотонно намаляваща $\Rightarrow\varphi(x)\geq0$ за $x\in[-3;0]$

[Гост]

Ако [tex]f(x) = x- \frac{7+2x}{2} ln\frac{7+2x}{7}[/tex], докажете, че [tex]-x^2≤f(x) ≤0[/tex] за всяко [tex]х ∈ [-3 ;0][/tex]