Теорема на Лагранж

[Гост]

Здравейте,
бихте ли могли да ми помогнете с едно доказателство че не намирам подобно решени задачи за да се опитам сама да го направя.
Задача : Като се използва теоремата на Лагранж, да се докаже неравенството:
[tex]\frac{x}{1+x}[/tex] < ln(1+x) < x при x>0.

[Nathi123]

Нека g(x) = x - ln(1+x) ; x>0 [tex]ln(1+x) < x \cap x>0 \Leftrightarrow g(x) >0 \cap x>0 ; g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}>0[/tex] ;x>0
[tex]\Rightarrow g(x)[/tex] е монотонно растяща при x >0 [tex]\Rightarrow g(x)>g(0)=0\Rightarrow x-ln(1+x)>0;x>0\Rightarrow x>ln(1+x).[/tex]
Аналогично като се разгледа функцията h(x)=ln(1+x) - [tex]\frac{x}{1+x}; x>0[/tex] се доказва и [tex]\frac{x}{1+x}< ln(1+x)[/tex] ; x>0.