Доказателство за граница

[Гост]

Ако f:M (множество от реални числа), x_{0 } е точка на сгъстяване, ако M има граница L, то тази граница е единствена. (с допускане на противното)

[aifC]

Дефинициите на Коши и Хайне за граница са еквивалентни.Допускаме противното т.е. че има две различни числа [tex]L_{1} и L_{2}[/tex] , които
са граница на функцията [tex]f(x)[/tex] при [tex]x[/tex] клонящо към [tex]x_{0}[/tex]. Понеже [tex]L_{1}[/tex] е граница на функцията [tex]f(x)[/tex] при [tex]x[/tex] клонящо към [tex]x_{0}[/tex], то тогава за всяко [tex]\epsilon_{1} > 0[/tex] съществува [tex]\delta_{1} > 0[/tex], такова че от условията [tex]x \in M[/tex], [tex]x \ne x_{0}[/tex] и [tex]|x − x_{0}| < \delta_{1}[/tex] да следва неравенството [tex]|f(x) − L_{1}| < \epsilon_{1}[/tex].Понеже [tex]L_{2}[/tex] е граница на функцията [tex]f(x)[/tex] при [tex]x[/tex] клонящо към [tex]x_{0}[/tex], то тогава за всяко [tex]\epsilon_{2} > 0[/tex] съществува[tex]\delta_{2} > 0[/tex], такова че от условията[tex]x \in M[/tex],[tex]x \ne x_{0}[/tex] и [tex]|x−x_{0}| < \delta_{2}[/tex] да следва неравенството [tex]|f(x)−L_{2}| < \epsilon_{2}[/tex]. Избираме [tex]\epsilon_{1} = \epsilon_{2} = \frac{|L_{1} - L_{2}|}{2}[/tex].Тогава ако [tex]x \ne x_{0}[/tex] e такава точка от [tex]М[/tex], за която имаме едновременно [tex]|x − x_{0}| < \delta_{1}[/tex] и [tex]|x − x_{0}| < \delta_{2}[/tex], то ще имаме, че[tex]|L_{1} − L_{2}| = |L_{1} − f(x) + f(x) − L_{2}| ≤ |L_{1} − f(x)|+|f(x) − L_{2}| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon = |L_{1} − L_{2}|[/tex].Така достигнахме до противоречие с допускането, че съществуват 2 граници. Това означава, че една функция не може да притежава 2 различни граници при [tex]x[/tex], клонящо към [tex]x_{0}[/tex] - тя или клони към една единствена граница, или няма граница.