Твърдение за границите

[Гост]

lim f(x)=0[tex]\Leftrightarrow[/tex]lim Іf(x)І=0 (при х клонящо към някакво число)

[Nathi123]

1. Ако [tex]\lim_{x \to a}f(x) =0 \Rightarrow \lim_{x \to a}|f(x)| = 0[/tex]=
[tex]\lim_{x \to a}|f(x)|=\begin{cases} \lim_{x \to a} f(x ) , при f(x)\ge 0 \\ - \lim_{x \to a} f(x) , при f(x)<0 \end{cases}[/tex] (1)
[tex]\Rightarrow \lim_{x \to a}|f(x)| = \pm \lim_{x \to a}f(x) =0\Rightarrow \lim_{x \to a}|f(x)|=0[/tex].
2. Ако [tex]\lim_{x \to a}|f(x)|=0\Rightarrow \lim_{x \to d}f(x)=0[/tex]
От (1) [tex]\Rightarrow \lim_{x \to a}|f(x)|=\lim_{x \to a}( \pm f(x) )= \pm \lim_{x \to a}f(x)\Rightarrow \pm \lim_{x \to a}f(x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to a}f(x) =0[/tex].