Доказателство

[Гост]

Да се докаже, че lim[tex]\sqrt[n]{a}[/tex] клони към 1

[Genie_Almo]

Нещо такова може би трябва да е:

[tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = a^ { \ lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}} = a^{0} = 1[/tex]

Не съм сигурен дали не трябва да се спомене нещо за a=0. Доколкото знам обаче, 0^0 често се приема за 1 от математиците, така че няма да е проблем и в този случай.

[pal702004]

Доколкото знам обаче, 0^0 често се приема за 1 от математиците.

$0^0$ за нищо конкретно не се "приема" от математиците, а си е вид неопределеност.

[Genie_Almo]

Приемам забележката и съм склонен да се съглася. Това, което имах предвид обаче е, че съм срещал примери, където за удобство и за да остане дадена нотация безусловна, се приема че 0^0=1. Това се случва само в определен контекст, разбира се.

Пример 1:

[tex]a^n = (a+0)^n = {n \choose 0}*a^{n}*0^{0}+{n \choose 1}*a^{n-1}*0^{1}+...+{n \choose n}*a^{0}*0^{n} = {n \choose 0}*a^{n}*0^{0}[/tex]

Тук може 0^0 да се приеме за 1, за да се избегнат допълнителните условности при развитието на нютоновия бином.

Пример 2:

Апроксимация на експоненциалната функция с реда на Тейлър:

[tex]e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}[/tex]

Тук също може да се приеме, че 0^0=1, за да се избегне аксиоматичното описание на случаят x=0.

Също и немалко компютърни алгоритми приемат дефинитивно 0^0=1. Виж кое е първото, което ти излиза като напишеш 0^0 в Гугъла

В никакъв случай не приемай това като някакво заяждане, съгласен съм, че в задачата случаят не е такъв и може просто да се спомене, че границата съществува за a<>0.

[aifC]

Да предположим че: [tex]a^{0} = \frac{m}{n};-----(1)[/tex] Тогава:

[tex]log(a^{0}) = log(\frac{m}{n}); \Rightarrow 0*log(a) = log(m) - log(n); \Rightarrow log(m) - log(n) = 0;\Rightarrow log(m) = log(n) \Rightarrow m = n;[/tex]

[tex]От(1)a^{0} = \frac{m}{n};[/tex], но ние знаем че [tex]m = n \Rightarrow a^{0} = 1[/tex], с това доказателството е приключено.

[pal702004]

В конкретната задача $\lim_{n\to \infty} 0^{\frac 1 n}=0$

Записът $0^0$ сам по себе си е безсмислен. Когато става въпрос за граници, говорим за неопределеност от дадения вид.

Която се разкрива, като се изполва $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln(f(x))}$ и там каквото сабя покаже. В показателя може да е 0, може да не е.

[pal702004]

Само да добавя (защото за това става въпрос в темата), че ако едната нула е константа 0, а другото е клонящо към 0, то константата побеждава. Тоест

$\lim_{x\to 0+} 0^x=0$

$\lim_{x\to 0} x^0=1$

И в двата примера на Genie_Almo става въпрос за втория случай. И в двата примера показателя е константа 0

$\lim_{x\to 0} (a+x)^n=\cdots$

$\lim_{x\to 0} e^x=\lim_{x\to 0} \frac{x^0}{0!}=1$


Но в тази задача става въпрос за първия случай.