Намиране на лява и дясна граница

[ivan_ivov]

Здравейте, искам да попитам за намирането на тази граница. От графиката се вижда, че при x = -1 графиката клони отляво или отдясно съответно към плюс и минус безкрайност. Искам да помоля ако може някой да помогне със намирането на лява и дясна граница, защото не мога да разложа правилно израза, за да няма неопределеност, иначе е ясна идеята, че ако в една точка лявата и дясната граница не съвпадат, то граница в тази точка не съществува. Благодаря предварително

[aifC]

[tex]\lim_{x \to 1}(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{5}+1}) = \frac{1}{1+1} - \frac{1}{1^{5}+1} = 0;[/tex]

Какво е точното условие на задачата ? Прилагам линк, който може да ти е от помощ.
https://www.youtube.com/watch?v=TAV1wzIRLn4

[Nathi123]

Търсят се [tex]\lim_{x \to -1^{+}}(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{x^{5}+1})=?[/tex] и [tex]\lim_{x \to -1^{-}}(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{x^{5}+1})=?[/tex]

[aifC]

От свойствата на граници:

[tex]\lim_{x \to -1}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x^{5}+1}) \Rightarrow \lim_{x \to -1}(\frac{1}{x+1}) - \lim_{x \to -1}(\frac{1}{x^{5}+1});[/tex]

[tex]\lim_{x \to -1^{+}}(\frac{1}{x+1}) \Rightarrow \frac{1}{-1+1} \Rightarrow \frac{+}{-} \rightarrow -\infty; \lim_{x \to -1^{-}}(\frac{1}{x+1}) \Rightarrow \frac{1}{1+1} \Rightarrow \frac{+}{+} \rightarrow \infty ;[/tex]

При втората функция границата не съществува.

[Добромир Глухаров]

$\lim_{x\to-1^{+0}}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^5+1}\right)=\{\infty-\infty\}=\lim_{x\to-1^{+0}}\frac{x^5+1-(x+1)}{(x+1)(x^5+1)}=\\=\lim_{x\to-1^{+0}}\frac{x^5-x}{(x+1)(x^5+1)}=\lim_{x\to-1^{+0}}\frac{x(x^4-1)}{(x+1)(x^5+1)}=\lim_{x\to-1^{+0}}\frac{x(x^2-1)(x^2+1)}{(x+1)(x^5+1)}=\\=\lim_{x\to-1^{+0}}\frac{x(x-1)\cancel{(x+1)}(x^2+1)}{\cancel{(x+1)}(x^5+1)}=\lim_{x\to-1^{+0}}\frac{x(x-1)(x^2+1)}{(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)}=\frac{-1.(-2).2}{+0.(1+1+1+1+1)}=+\infty$

$\lim_{x\to-1^{-0}}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^5+1}\right)=\{-\infty+\infty\}=\lim_{x\to-1^{-0}}\frac{x^5+1-(x+1)}{(x+1)(x^5+1)}=\\=\lim_{x\to-1^{-0}}\frac{x^5-x}{(x+1)(x^5+1)}=\lim_{x\to-1^{-0}}\frac{x(x^4-1)}{(x+1)(x^5+1)}=\lim_{x\to-1^{-0}}\frac{x(x^2-1)(x^2+1)}{(x+1)(x^5+1)}=\\=\lim_{x\to-1^{-0}}\frac{x(x-1)\cancel{(x+1)}(x^2+1)}{\cancel{(x+1)}(x^5+1)}=\lim_{x\to-1^{-0}}\frac{x(x-1)(x^2+1)}{(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)}=\frac{-1.(-2).2}{-0.(1+1+1+1+1)}=-\infty$