Доказателство

[sisi_pz98]

Здравейте. Може ли някой да ми каже как да реша подусловие б) на тази задача.
Използвах индукционна стъпка и получавам:
arcoctg [tex]\frac{n+2}{n+1}[/tex]= arccotg [tex]\frac{n+1}{n}[/tex] + arccotg 2( n*n + 2n + 1)
Но не знам как да продължа и дали е вярно до тук.
Благодаря предварително за помощта.

[Nathi123]

б) При n=1 твърдението е изпълнено- проверява се лесно. Да допуснем,че е изпълнено при n т.е. [tex]\sum_{i=1}^{n }arccotg2i^2 = arccotg\frac{n+1}{n}[/tex].
Ще докажем,че твърдението е изпълнено за n+1 т.е [tex]\sum_{i=1}^{n+1 }arccotg2i^2 =arccotg\frac{n+2}{n+1}[/tex].
От допускането [tex]\Rightarrow\sum_{i=1}^{n+1 }arccotg2i^2 = arccotg\frac{n+1}{n}+arccotg2(n+1)^{2}=arctg\frac{n}{n+1}+arctg\frac{1}{2(n+1)^{2}}[/tex].
Тук използваме,че [tex]arctgx=arccotg\frac{1}{x}[/tex] (1) ( тъждеството следва от [tex]tg\varphi .cotg\varphi =1[/tex] и определението на обратните тригоном. функции arctgx и arccotgx).
За по - нататъшни преобразувания се използва т-вото [tex]arctgx + arctgy = arctg\frac{x+y}{1-xy}[/tex] ,ако xy<1.
[tex]\Rightarrow arctg\frac{n}{n+1}+arctg\frac{1}{2(n+1)^{2}}=arctg\frac{\frac{n}{n+1}+\frac{1}{2(n+1)^{2}}}{1-\frac{n}{n+1}.\frac{1}{2(n+1)^{2}}}[/tex]
[tex]\Rightarrow arctg\frac{n}{n+1}+arctg\frac{1}{2(n+1)^{2}}= arctg\frac{(2n^{2}+2n+1)(n+1)}{2n^{3}+6n^{2}+5n+2}=arctg\frac{n+1}{n+2}=arccotg\frac{n+2}{n+1}[/tex],защото
[tex]2n^{3}+6n^{2}+5n+2=(n+2)(2n^{2}+2n+1)[/tex]. Следователно твърдението е вярно за всяко n.