Граници на функции

[sisi_pz98]

Някой може ли да ми помогне с тези две задачи. Благодаря предварително.

[Добромир Глухаров]

$\lim_{x\to0}\frac{ln(cos^2x+sinx^2)}{x^4}=\{\frac{0}{0}\}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{-2cosxsinx+cosx^2.2x}{(cos^2x+sinx^2)^2}}{4x^3}=\lim_{x\to0}\frac{xcosx^2-sinxcosx}{2x^3(cos^2x+sinx^2)^2}=\{\frac{0}{0}\}=\lim_{x\to0}\frac{cosx^2+x.(-sinx^2).2x-cos^2x+sin^2x)}{6x^2(cos^2x+sinx^2)^2+2x^3.2(cos^2x+sinx^2).(2cosx.(-sinx)+cosx^2.2x)}=\lim_{x\to0}\frac{sin^2x-2x^2sinx^2}{(cos^2x+sinx^2)(6x^2cos^2x+6x^2sinx^2-8x^3sinxcosx+8x^4cosx^2)}=\{sinx\sim x;\ cosx\to0\}=\lim_{x\to0}\frac{x^2-2x^4}{(1+x^2)(6x^2+6x^4\cancel{-8x^4}\cancel{+8x^4})}=\lim_{x\to0}\frac{\cancel{x^2}(1-2x^2)}{6\cancel{x^2}(1+x^2)^2}=\frac{1}{6}$

[Добромир Глухаров]

Не мога да си открия грешката, но горното не е вярно - с калкулатор получавам $\frac{1}{3}$.

И ето какво казва Wolfram по въпроса - тук.

[Гост]

Производната на $\ln u(x)$ e $u'(x)/u(x)$.

[Добромир Глухаров]

Производната на $\ln u(x)$ e $u'(x)/u(x)$.

Много благодаря! Глупава грешка от моя страна . Значи трябва да стане така:

$\lim_{x\to0}\frac{ln(cos^2x+sinx^2)}{x^4}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{2cosx(-sinx)+cosx^2.2x}{cos^2x+sinx^2}}{4x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2xcosx^2-sin2x}{2x^3cos^2x+2x^3sinx^2}=\lim_{x\to0}\frac{2cosx^2+2x(-sinx^2).2x-cos2x.2}{6x^2cos^2x+2x^3.2cosx(-sinx)+6x^2sinx^2+2x^3cosx^2.2x}=\lim_{x\to0}\frac{2cosx^2-2cos^2x+2sin^2x-4xsinx^2}{6x^2cos^2x-4x^3sinxcosx+6x^2sinx^2+4x^4cosx^2}=\lim_{x\to0}\frac{2-2+2x^2-4x^3}{6x^2-4x^4+6x^4+4x^4}=\lim_{x\to0}\frac{2x^2(1-2x)}{6x^2(1+x^2)}=\frac{1}{3}$

[Добромир Глухаров]

И това решение е грешно . Отговорът $\frac{1}{3}$ е верен, но е получен по неправилен начин. Например приемам $cosx^2=cos^2x$ при $x\to0$, а в действителност $cosx^2-cos^2x\sim x^2$. Има и други такива еквивалентности, които трябва да се докажат, за да се използват. За съжаление дори и само тази не съм сигурен как се доказва - може би също с Лопитал?

[Добромир Глухаров]

Най-после го измъдрих: първо прилагаме два пъти Лопитал:

$\lim_{x\to0}\frac{ln(cos^2x+sinx^2)}{x^4}\{\frac{0}{0}\}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{2cosx(-sinx)+cosx^2.2x}{cos^2x+sinx^2}}{4x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2xcosx^2-sin2x}{4x^3(cos^2x+sinx^2)}\{\frac{0}{0}\}=\lim_{x\to0}\frac{2cosx^2+2x.(-sinx^2).2x-cos2x.2}{12x^2(cos^2x+sinx^2)+4x^3(2cosx(-sinx)+cosx^2.2x)}=\lim_{x\to0}\frac{cosx^2-cos2x-2x^2sinx^2}{6x^2cos^2x+6x^2sinx^2-4x^3sinxcosx+4x^4cosx^2}$

После намираме границата $\lim_{x\to0}\frac{cosx^2-cos2x}{x^2}\{\frac{0}{0}\}=\lim_{x\to0}\frac{-sinx^2.2x+sin2x.2}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-xsinx^2+sin2x}{x}\{\frac{0}{0}\}=\lim_{x\to0}\frac{-sinx^2-xcosx^2.2x+cos2x.2}{1}=0+2=2$

По този начин получихме, че $cosx^2-cos2x\sim2x^2$

Заместваме и продължаваме: $\lim_{x\to0}\frac{cosx^2-cos2x-2x^2sinx^2}{6x^2cos^2x+6x^2sinx^2-4x^3sinxcosx+4x^4cosx^2}=\lim_{x\to0}\frac{2x^2-2x^2sinx^2}{6x^2cos^2x+6x^2sinx^2-4x^3sinxcosx+4x^4cosx^2}=\lim_{x\to0}\frac{2x^2(1-sinx^2)}{2x^2(3cos^2x+3sinx^2-2xsinxcosx+2x^2cosx^2)}=\lim_{x\to0}\frac{1-sinx^2}{3cos^2x+3sinx^2-2xsinxcosx+2x^2cosx^2}=\frac{1-0}{3+3.0-2.0.0.1+2.0^2.1}=\frac{1}{3}$

[Добромир Глухаров]

$cosxcos4x...cosn^2x=\left(1-2sin^2{\frac{x}{2}}\right)\left(1-2sin^2{\frac{4x}{2}}\right)...\left(1-2sin^2{\frac{n^2x}{2}}\right)=\\=1-2sin^2{\frac{x}{2}}-2sin^2{\frac{4x}{2}}-\cdots-2sin^2{\frac{n^2x}{2}}+o(x^2)$

$\lim_{x\to0}\frac{1-cosxcos4x...cosn^2x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2\left(sin^2{\frac{x}{2}}+sin^2{\frac{4x}{2}}+\cdots+sin^2{\frac{n^2x}{2}}\right)}{x^2}=\\=\lim_{x\to0}\frac{2\left({\frac{x^2}{4}}+{\frac{(4x)^2}{4}}+\cdots+{\frac{(n^2x)^2}{4}}\right)}{x^2}=\frac{1+2^4+3^4+\cdots+n^4}{2}=\\=\frac{1}{60}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^5}\cdot\frac{1}{60}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)=\frac{1}{10}$

Сигурно бъркам някъде ?