Непосредствено интегриране

[shener.hadjimehmed]

Помогнете ми с този интеграл. Знам че има табличен при който синус е на 2ра но е в знаменател , какво да правя когато е в числител ?

[Добромир Глухаров]

Интегриране по части и една тригонометрична формула: $cos^2(2x-3)=1-sin^2(2x-3)$

$\int sin^2(2x-3)dx=\frac{1}{2}\int sin(2x-3).sin(2x-3)d(2x-3)=-\frac{1}{2}\int sin(2x-3)dcos(2x-3)=-\frac{1}{2}sin(2x-3)cos(2x-3)+\frac{1}{2}\int cos(2x-3)dsin(2x-3)=-\frac{1}{2}sin(2x-3)cos(2x-3)+\frac{1}{2}\int cos^2(2x-3)d(2x-3)=-\frac{1}{2}sin(2x-3)cos(2x-3)+\int(1-sin^2(2x-3))dx=-\frac{1}{2}sin(2x-3)cos(2x-3)+\int dx-\int sin^2(2x-3)dx$

$\Rightarrow 2\int sin^2(2x-3)dx=x-\frac{1}{2}sin(2x-3)cos(2x-3)+C_1$

$\int sin^2(2x-3)dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}sin(2x-3)cos(2x-3)+C$

[Добромир Глухаров]

А за непосредствено интегриране трябва да се използва друга формула от тригонометрията: $sin^2(2x-3)=\frac{1-cos(4x-6)}{2}$

$\int sin^2(2x-3)dx=\frac{1}{2}\int(1-cos(4x-6))dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\int cos(4x-6)d(4x-6)=\frac{x}{2}-\frac{1}{8}sin(4x-6)+C$

Което е същото като горното, тъй като $sin(4x-6)=2sin(2x-3)cos(2x-3)$ - също известна тригонометрична формула.

[shener.hadjimehmed]

За още една задача ще искам помощ , отново с непосредствено интегриране :[tex]\int[/tex]2/(x^2+4)dx

[Добромир Глухаров]

Делим числителя и знаменателя на 4:

$\int\frac{2}{x^2+4}dx=\int\frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}dx=\int\frac{d{\frac{x}{2}}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}=arctg{\frac{x}{2}}+C$

[shener.hadjimehmed]

А тази : [tex]\int[/tex]8/sqrt(5-x^2)dx

[Добромир Глухаров]

$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+5}}dx=ln|x+\sqrt{x^2+5}|+C$ Има такъв табличен интеграл: $\int\frac{du(x)}{\sqrt{(u(x))^2+a^2}}=ln|u(x)+\sqrt{(u(x))^2+a^2}|+C=argsh\left(\frac{u(x)}{a}\right)+C$

[Добромир Глухаров]

А тази : [tex]\int[/tex]8/sqrt(5-x^2)dx

$\int\frac{8}{\sqrt{5-x^2}}dx=8\int\frac{d\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)^2}}=8\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)+C$

[shener.hadjimehmed]

Може ли по-подробно решение , за да видя самия начин за решаване на цялата задача ?

[Добромир Глухаров]

$\int\frac{8}{\sqrt{5-x^2}}dx=8\int\frac{dx}{\sqrt{5-x^2}}=8\int\frac{\frac{dx}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5-x^2}}{\sqrt{5}}}=8\int\frac{d\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{\frac{5-x^2}{5}}}=8\int\frac{d\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{1-\frac{x^2}{5}}}=8\int\frac{d\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)^2}}=8\arcsin\frac{x}{\sqrt{5}}+C$