Граници на функция

[sisi_pz98]

Може ли някой да ми помогне с тази задача?
Благодаря предварително.

[aifC]

[tex]\lim_{x \to 0}\left(\frac{(1+sin^{3}x)^{x^{2}}-1}{x^{5}}\right) \Rightarrow \frac{\lim_{x \to 0}((1+sin^{3}x)^{x^{2}}-1)}{\lim_{x \to 0}(x^{5})} = \frac{(1+sin^{3}(0))^{0^{2}}-1)}{0^{5}} = \frac{1-1}{0} = 0;[/tex]

[Добромир Глухаров]

Логаритмична производна: $y=(f(x))^{g(x)};\ lny=g(x)lnf(x)\Rightarrow\frac{y'}{y}=g'(x)lnf(x)+\frac{g(x)}{f(x)}\cdot f'(x)\Rightarrow\\y'=(f(x))^{g(x)}\left[g'(x)lnf(x)+\frac{g(x)}{f(x)}\cdot f'(x)\right]$

За границата прилагаме правилото на Лопитал и съкращаваме на $x^4$:

$\lim_{x\to0}\frac{(1+sin^3x)^{x^2}-1}{x^5}\{\frac{0}{0}\}=\lim_{x\to0}\frac{(1+sin^3x)^{x^2}\left[2xln(1+sin^3x)+\frac{x^2}{1+sin^3x}\cdot(3sin^2xcosx)\right]}{5x^4}=\lim_{x\to0}\frac{1.\left(2xln(1+sin^3x)+\frac{3x^2sin^2xcosx}{1+sin^3x}\right)}{5x^4}=\lim_{x\to0}\frac{2\cdot\frac{ln(1+sin^3x)}{x^3}+\frac{3cosx}{1+sin^3x}}{5}=\frac{2.1+3}{5}=1$

Защото имаме основна граница $\lim_{u\to0}\frac{ln(1+u)}{u}=1\Rightarrow\lim_{x\to0}\frac{ln(1+sin^3x)}{x^3}=1$, понеже $sinx\sim x$ при $x\to0$

[aifC]

Нееее пак се провалих.